一、迭代公式 1.牛顿迭代法求开方的公式如下：

         上述公式中，n为我们要进行开方的数，Xn需要我们给出从而进行X（n+1）的求解，不妨设Xn为n/2。（实际上Xn可以任意给一个数均可，下面另一文中有画图介绍，可以揣摩下任意数均可这句话2023.12.7）

2.举个例子：

二、调用函数代码  1.函数返回类型我们给为double以提升精度，函数名随便起为my_sqrt,形参直接给 n 。

        即：double my_sqrt(double n)

2.定义double a , b 分别代指 Xn 和 X(n+1) 。

3.由于每一次迭代都是对开方精度的提升，所以我们需要一个判断条件来退出函数，这里我采用while循环语句并且给出控制表达式为while (fabs(a - b) > 0.000001)，意味a和b的绝对值之差大于0.000001。这可能是上一篇中le-6的另外一种写法2023.12.7

4.循环体：从上面的例子中我们不难发现，每进行下一次迭代时，都会把上一次的X（n+1）赋值给Xn,也就是把b赋值给a，然后再进行一次迭代，由此给出循环体语句。

5.返回值为b。

所以，最终的调用函数代码如下：

double my_sqrt(double n) {     double a = n / 2;     double b = (a + n / a) / 2;     while (fabs(a - b) > 0.000001)     {         a = b;         b = (a + n / a) / 2;     }     return b; } 三、主函数 主函数里注意输入和输出时格式说明符应为%lf。

给出代码：

int main() {     double n = 0;     printf("Input a number :");     scanf("%lf", &n);     double A = my_sqrt(n);     printf("Sqrt number :%lf \n", A);     return 0; } 四、整体代码及调试结果 double my_sqrt(double n) {     double a = n / 2;     double b = (a + n / a) / 2;     while (fabs(a - b) > 0.000001)     {         a = b;         b = (a + n / a) / 2;     }     return b; }   int main() {     double n = 0;     printf("Input a number :");     scanf("%lf", &n);     double A = my_sqrt(n);     printf("Sqrt number :%lf \n", A);     return 0; } 版权声明：本文为CSDN博主「炮炮轰」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。 原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_64084604/article/details/127418169

如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方（数值分析）？

五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。

但是，没有王屠夫难道非得吃带毛猪？工作生活中还是有诸多求解高次方程的真实需求（比如行星的轨道计算，往往就是涉及到很复杂的高次方程），这日子可怎么过下去啊？

没有根式解不意味着方程解不出来，数学家也提供了很多方法，牛顿迭代法就是其中一种。

1 切线是曲线的线性逼近

要讲牛顿迭代法之前我们先说一个关键问题：切线是曲线的线性逼近。

这个是什么意思呢？我们来看一看，下面是 

 的图像：

我们随便选一点

 上的一点

作它的切线：

我们在A点处放大图像：

上图中，红色的线是

，黑色的是A点处的切线，可以看出放大之后切线和

非常接近了。很明显，如果我们进一步放大图像，A点切线就越接近

。

可以自己动手试试：

因为切线是一条直线（也就是线性的），所以我们可以说，A点的切线是

的线性逼近。离A点距离越近，这种逼近的效果也就越好，也就是说，切线与曲线之间的误差越小。所以我们可以说在A点附近，“切线

 ”。

2 牛顿-拉弗森方法的几何直觉

牛顿迭代法又称为牛顿-拉弗森方法，实际上是由牛顿、拉弗森（又是一个被牛顿大名掩盖的家伙）各自独立提出来的。

牛顿-拉弗森方法提出来的思路就是利用切线是曲线的线性逼近这个思想。

牛顿、拉弗森们想啊，切线多简单啊，研究起来多容易啊，既然切线可以近似于曲线，我直接研究切线的根不就成了。

然后他们观察到这么一个事实：

随便找一个曲线上的A点（为什么随便找，根据切线是切点附近的曲线的近似，应该在根点附近找，但是很显然我们现在还不知道根点在哪里），做一个切线，切线的根（就是和x轴的交点）与曲线的根，还有一定的距离。牛顿、拉弗森们想，没关系，我们从这个切线的根出发，做一根垂线，和曲线相交于B点，继续重复刚才的工作：

之前说过，B点比之前A点更接近曲线的根点，牛顿、拉弗森们很兴奋，继续重复刚才的工作：

第四次就已经很接近曲线的根了

经过多次迭代后会越来越接近曲线的根（下图进行了50次迭代，哪怕经过无数次迭代也只会更接近曲线的根，用数学术语来说就是，迭代收敛了）：

3 牛顿-拉弗森方法的代数解法

已知曲线方程

 ，我们在

点做切线，求

：

容易得出，

点的切线方程为：

 。

要求

 ，即相当于求

 的解，即

 ：

 。

4 牛顿-拉弗森方法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？

牛顿-拉弗森方法源于直觉，这种直觉本身有一定程度的合理性。

我们来看看收敛的充分条件：

也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点 

 选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不可靠了。

4.1 驻点

起始点不幸选择了驻点，从几何上看切线根本没有根。

从代数上看，

 没有意义。

4.2 越来越远离的不收敛

下面是 

 的曲线，不论怎么选择起始点，越迭代就越远离根点：

从代数上看，

 ，就是说下一个点比上一个点更远离根点。

此处根点很显然是0点，而 

 是不存在的。

4.3 循环震荡的不收敛

还有一种更酸爽的不收敛，就是不断的循环震荡。

比如下面是 

 的曲线：

很漂亮的图像吧。从代数上看就是 

 造成的。

由于选择的起始点不对，造成这种循环的情况其实还挺多，在很多曲线的某些点都会出现这种情况。

此处根点也是0点，而 

 是不存在的。但是不一定 

 不存在就无法用牛顿-拉弗森方法求解，比如 

 依然可以用牛顿-拉弗森方法：

这是因为之前说的收敛判断条件只是充分条件。

4.4 不能完整求出所有的根

比如 

 这种有多个根的函数，因为选择的起始点，只能求到附近的根：

也可能想求附近的根，由于选择的起始点不对，结果求到远处的根：

4.5 自己动手试试

通过按钮可以切换函数，拖动“起始点”也会有惊喜：

4.6 总结

应用牛顿-拉弗森方法，要注意以下问题：

5 牛顿-拉弗森方法的应用

比如求平方根：

 ，可以转为求 

 这个方程的根，就可以用牛顿-拉弗森方法求。求平方根用牛顿-拉弗森方法是安全的，没有我之前说的那么多坑。不过我看了有一些工程师写的代码，就有点滥用牛顿-拉弗森方法了，没有从数学角度进行更多的考虑。

数学的魅力就在于，哪怕18世纪就证明了五次及以上多项式方程没有根式解，随着时间的发展，这个证明并不会被推翻，不像技术一样会日新月异。所以牛顿-拉弗森方法仍然在计算机学科中被广泛使用。

 如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方（数值分析）？