有朋友问，这里真正比较困难的是，如何证明只存在这五种正多面体，而不存在比如说正九面体或正16面体。（谈到“开普勒距离柏拉图两千年，他起初想用五个正多面体解释行星的轨道”）

这里解释一下：

正多面体每个顶点周围至少要有三个面角（若每个顶点只有两个面，封闭不起来），这三个面角必须小于120度，正六边形每个角都是120度，再大的正多边形角度大于120度。所以，能构造正多面体的多边形，只有：正三角形，正方形，正五边形

正三角形可以构造正四面体，正八面体，正二十面体，共三种；正方形只能构造正六面体；正五边形只能构造正十二面体。

“可不可以三个面角都等于120度？”

不行，那就是平面了，正好组不成“体”，曲不回来了。3个120度撑满平面了，必须小于360度才能褶皱。比如立方体三个角是270度（小于360度），把它们强行连起来，就折成立体角了，如下：

这两个红边要强行挨住，就得折起来。要是加起来正好360度，就不用了。反过来意味着3个120度组不成体了

“正六面体就只有正方体这一种吗？把你图中的正四面体即中间的那个正三棱锥上下一叠，不是也能形成个正六面体吗？就跟正八面体是两个金字塔叠成的那样。”

两个正四面体摞一起，构不成正多面体，正多面体除了各个面都是同一种正多边形，还需要中心有个点，到各顶点相等，这才正。如上那样摞起来来的，摞起来的面对应的顶点，离中心远，是扁的，枣核型，不是正多面体。

总结整理：

前面说了只有这三种可以构造正多边形，现在实际构造一下:

正三角形:

首先，一个顶点周围只有两个面，是组不成封闭多面体的，所以从三个面开始

（1）一个顶点三个正三角形，一个角是六十度，三个角180度，小于360度，可以构造，构造成功，即正四面体（图1）

（2）一个顶点四个正三角形，四个角240度，小于360度，可以构造，构造成功，正八面体（图2）

（3）一个顶点周围5个正三角形，五个角300度，小于360度，可以构造，构造成功，正二十面体（图3）

（4）一个顶点周围6个正三角形，6个角360度，不小于360度，不可以构造多面体

正方形

（1）也从三个面开始构造。一个顶点周围三个正方形，三个角，270度，小于360度，可以构造，构造成功，正六面体，正方体

（2）一个点四个面，四个角360度，不小于360度，不能构造

正五边形

（1）一个顶点三个面，正五边形每个角108度，三个角，324度，小于360度，可以构造，构造成功，正十二面体。

（2）一个顶点四个面，432度，大于360度，不能构造。

这就是为什么正三角形可以构造有三种正多面体，正四边形和正五边形的分别只能有一种正多面体。