关于未定式1∞的几种计算方法及应用

贾筱景;李娟

【摘要】未定式1∞的计算是极限计算的重要组成部分.在满足一定条件下,未定式1∞可运用洛必塔法则直接计算.但洛必塔法则求解未定式既非万能,也非最佳.当洛必塔法则的条件不再满足时,可借助重要极限,选择凑构法、等价无穷小替换法及泰勒式展开法等,从而巧妙地得到问题的解.

【期刊名称】《通化师范学院学报》

【年(卷),期】2009(030)002

【总页数】2页(P10-11)

【关键词】未定式;洛必塔法则;凑构法;等价无穷小替换法;泰勒式展开法

【作者】贾筱景;李娟

【作者单位】甘肃政法学院,计算机科学学院,甘肃,兰州,730070;甘肃政法学院,计算机科学学院,甘肃,兰州,730070

【正文语种】中文

【中图分类】O172.1

极限是高等数学的基本内容，洛必塔法则是计算极限的重要手段之一.对于未定式1∞，一般可先将其变形为e∞·ln1，再化为或的形式.若满足洛必塔法则条件，则可运用该法则对其进行直接计算[1-3].但在有些情况下，如变形后所得到的或的形式，就不能直接使用洛必塔法则.文献[4]对洛必塔法则求解未定式极限的局限性进

行了探讨，并指出洛必塔法则求解未定式既非万能，也非最佳.文献[5-6]分别给出了一种计算未定式1∞的简便方法，但对于一些特殊的未定式的计算有其局限性.本文旨在探索未定式1∞的多种计算方法.对具体未定式极限的计算，可以先对问题的结构条件进行分析判断，再运用洛必塔法则或结合重要极限并选择下述方法中的一种求解.

1 未定式1∞的几种计算方法

1.1 凑构法

先凑构，再利用重要极限计算.

定理1 若函数f(x)，g(x)在同一过程中满足：

1)limf(x)=1,lim g(x)=∞；

2)lim{[f(x)-1]g(x)}存在，

则有lim[f(x)]g(x)=elim{[f(x)-1]g(x)}.

推论1 若函数f(x)，g(x)在同一过程满足：

1)limf(x)=0,lim g(x)=∞；

2)lim{[f(x)g(x)]}存在，

则有lim[1+f(x)]g(x)=elim[f(x)g(x)].

证明lim[1+f(x)]g(x)=elim{g(x)·ln[1+f(x)]}=

elim{[f(x)g(x)]·ln e}=elim[f(x)g(x)].

例

解令

此时

又

于是由定理1可知,

1.2 等价无穷小替换法

先等价无穷小替换，再利用重要极限计算.

定理2 若函数f(x)满足且f(x)～axk1(x→0)，其中a为非零常数且k1>0，则当k2>0时,有

证明

当x→0时，显然有

ln[1+f(x)]～f(x)～axk1.

于是

因此有

推论2 若函数f(x)，g(x)满足：

2)f(x)～axk(x→0)，其中a为非零常数，k>0；

3)其中b为非零常数，l>0，则

证明又ln[1+f(x)]～f(x)～axk且故

因此有

例

解当x→0时，有ln[1+2sinx2]～2sinx2～2x2和由推论2可知

1.3 泰勒式展开法

先利用泰勒式展开，再利用重要极限计算.

定理3 若函数f(x)，g(x)满足：

2)f(x)=1+axm+o(xm)；

其中a≠0,b≠0，m∈N+,n∈N+,则

证明

当x→0时，先由f(x)=1+axm+o(xm)(其中a≠0,m∈N+)知lnf(x)=ln{1+[f(x)-1]}～f(x)-1=axm+o(xm)～axm，再由其中b≠0，n∈N+)知类似推论2的证明可得：

例

解当x→0时，利用泰勒展开式可得

以及sinx4=x4+o(x4)，于是由定理3知

2 小结

本文提出了计算未定式1∞的三种方法：凑构法，等价无穷小替换法，泰勒式展开法.当问题满足一定的条件时，使用洛必塔法则比较直观；当洛必塔法则的条件不具备时，选择本文提出的方法可以得解.

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2003:1-49.

[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2004:56-176.

[3]胡传孝.高等数学的问题、方法与结构[M].武汉:武汉大学出版社,2001:27-33.

[4]王斌.用洛比塔法则求未定式极限的局限性的探讨[J].黔西南民族师范高等专科学校学报,2001(4).

[5]王林芳.求1∞型未定式极限的一种简便方法[J].高等数学研究,2005,8(5).

[6]吕祥凤.等价无穷小代换在未定式1∞、∞0、00的运用[J].成都教育学院学报,2003(3).

第3章 导数的应用 本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。 §3.1 洛必达法则 如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0 ()lim () x x f x g x →（或() lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未 定式，并分别记为00或∞ ∞ 。 例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221 lim 23x x x →∞-+是∞∞ 型未定式。 在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。 一、 00型与∞ ∞ 型未定式 定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0 lim ()0x x f x →=，0 lim ()0x x g x →=； （2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0 () lim () x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0 lim ()() x g x f x x ''→0lim 。 证明从略. 这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。

注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。 （2）定理3.1中的条件(1)，若改为 lim x x →)(x f ＝∞, 0 lim x x →)(x g ＝∞， 则定理仍成立. （3）如果0 ()lim '() x x f x g x →'仍是00 型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定 理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有 ()() lim x x f x g x →=0()lim '()x x f x g x →'0''() lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin ) lim x x x →+. 解 这是0 型未定式,应用洛必达法则,得 000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0 x x x x x x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x x x →+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则 会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。 例2 求() 2 1 1ln lim x x x -→. 解 这是0 型未定式,应用洛必达法则,得 ()()() ∞=--=--=-→→→x x x x x x x x x 11lim 21121 lim 1ln lim 112 1 . 例3 求332132 lim 1 x x x x x x →-+--+. 解 这是0 型未定式,连续应用洛必达法则两次,得 32322111323363lim lim lim 1321622 x x x x x x x x x x x x x →→→-+-===--+---.

浅谈中学数学极限思想方法 微积分极限思想是数学发展的重要分支，对于现代数学和物理学的研究与应用具有深远的影响。本文将从定义、基本性质、重要定理及应用举例等方面，探讨微积分极限思想的重要性和作用。 微积分极限思想是指在处理变量或函数时，将它们的变化趋势考虑在内。具体来说，极限是描述函数在某个变化过程中逐渐逼近某个值的概念，而微积分则是利用极限的方法来研究函数的变化规律和求解相关问题。 局部有界性：如果一个函数在某一点的极限存在，则该函数在该点的附近区间内有界。 保号性：如果一个函数在某一点的极限大于（或小于）零，则该函数在该点的附近区间内符号保持为正（或负）。 可数性：如果一个函数在某个区间上的每一点都有极限，则该函数在该区间上一致收敛于该极限。 微积分中两个重要的定理是局部不等式和积分不等式。局部不等式指的是：如果一个函数在某点的某个邻域内具有有限的导数，则该函数在该点附近的最大值和最小值之差不超过该函数的导数在该点的值

与距离的乘积。积分不等式则是用积分的方式来描述不等式，对于研究函数的性质和解决实际问题具有重要意义。 微积分极限思想在解决实际问题中具有广泛的应用。例如，在解决微分方程时，我们可以通过极限的方法将方程转化为等价的不动点方程，从而求解；在计算积分时，我们可以通过极限的方式将积分转化为求和，从而利用求和公式进行计算。 微积分极限思想是数学和物理学研究的重要工具，对于现代科学技术的发展具有深远的影响。通过本文的探讨，我们可以看到微积分极限思想的重要性和作用，它不仅提供了研究函数变化规律的有效方法，而且还为解决实际问题提供了强有力的理论支撑。因此，我们应当重视微积分极限思想的学习和应用，不断提高自己的数学素养和思维能力，以更好地适应现代社会的发展需求。 极限的思想方法是数学中一种非常重要的思想方法，它在许多数学问题和科学领域中都有广泛的应用。本文将介绍极限思想的起源、基本原理、方法论以及在数学和科学中的应用，以帮助读者更深入地理解这一重要的思想方法。 极限思想可以追溯到古代数学，早在公元前300年左右，希腊数学家欧多克索斯就研究了极限的初步概念。然而，极限思想真正的发展和

关于未定式1∞的几种计算方法及应用 贾筱景;李娟 【摘要】未定式1∞的计算是极限计算的重要组成部分.在满足一定条件下,未定式1∞可运用洛必塔法则直接计算.但洛必塔法则求解未定式既非万能,也非最佳.当洛必塔法则的条件不再满足时,可借助重要极限,选择凑构法、等价无穷小替换法及泰勒式展开法等,从而巧妙地得到问题的解. 【期刊名称】《通化师范学院学报》 【年(卷),期】2009(030)002 【总页数】2页(P10-11) 【关键词】未定式;洛必塔法则;凑构法;等价无穷小替换法;泰勒式展开法 【作者】贾筱景;李娟 【作者单位】甘肃政法学院,计算机科学学院,甘肃,兰州,730070;甘肃政法学院,计算机科学学院,甘肃,兰州,730070 【正文语种】中文 【中图分类】O172.1 极限是高等数学的基本内容，洛必塔法则是计算极限的重要手段之一.对于未定式1∞，一般可先将其变形为e∞·ln1，再化为或的形式.若满足洛必塔法则条件，则可运用该法则对其进行直接计算[1-3].但在有些情况下，如变形后所得到的或的形式，就不能直接使用洛必塔法则.文献[4]对洛必塔法则求解未定式极限的局限性进

行了探讨，并指出洛必塔法则求解未定式既非万能，也非最佳.文献[5-6]分别给出了一种计算未定式1∞的简便方法，但对于一些特殊的未定式的计算有其局限性.本文旨在探索未定式1∞的多种计算方法.对具体未定式极限的计算，可以先对问题的结构条件进行分析判断，再运用洛必塔法则或结合重要极限并选择下述方法中的一种求解. 1 未定式1∞的几种计算方法 1.1 凑构法 先凑构，再利用重要极限计算. 定理1 若函数f(x)，g(x)在同一过程中满足： 1)limf(x)=1,lim g(x)=∞； 2)lim{[f(x)-1]g(x)}存在， 则有lim[f(x)]g(x)=elim{[f(x)-1]g(x)}. 推论1 若函数f(x)，g(x)在同一过程满足： 1)limf(x)=0,lim g(x)=∞； 2)lim{[f(x)g(x)]}存在， 则有lim[1+f(x)]g(x)=elim[f(x)g(x)]. 证明lim[1+f(x)]g(x)=elim{g(x)·ln[1+f(x)]}= elim{[f(x)g(x)]·ln e}=elim[f(x)g(x)]. 例 解令 此时 又

考研高数不定式求极限解题方法 1.函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点 类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定 区间上有无实根。 2.一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算包括隐函数求导、利用洛比达法 则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关 的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3.一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求 导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4.向量代数与空间解析几何数一 主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直 线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系平行、垂直、相交等解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5.多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元 函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌 握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6.多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一 还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式 及斯托克斯公式。 7.无穷级数数一、数三 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8.常微分方程及差分方程

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δx f ； （ii ）若有,0>δ 2. （i ）数列{}n x a 的 （ii ）f x ∞→lim ( (iii) x f x x →lim )( (iv)（v （vi ）柯西条件是： ε>∀1.2.洛必达（L’ho x 趋如告诉f （x ）,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞∙0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； 3211253)! 32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 4.5.6.0>>>c b a ， n x =a （2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n 解：由n n n n n n n 1 111)2(1)1(1102222 22 =+++

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>∀ε 取 εδ= 那么当δ

例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++⋅+ 3、约去零因式〔此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法〔适用于∞-∞ 型〕 例: 求 )21 44( lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -⋅++-→ =) 2)(2()2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法〔特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质〕 设函数f(x)、g(x) 满足：

一种1∞型幂指函数极限简便解法的讨论 作者：陈帆王安平 来源：《教育教学论坛》2015年第18期 摘要：根据幂指函数极限的一般求法，推导得出了1∞型幂指函数极限的一种简便解法，并对所得到的结论结合无穷小的比较进行了讨论和推广. 关键词：幂指函数;极限;无穷小的比较 中图分类号：G642.0 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）18-0175-02 一、引言 幂指函数的极限是在高等数学中经常出现的一类极限，同时，由于其解法的特殊性与抽象性成为不少学生不易理解的难点.下面在一般幂指函数解法的基础上我将给出一个更为简便的结论，并结合无穷小的比较给出一种直接判断幂指函数极限的方法. 一般地，在同一极限过程中当f（x）→1、g（x）→∞时，我们称极限lim f（x）为1 型幂指函数的极限.对于此类极限我们有两种常见解法：其一利用重要极限 1+ ;=e的结论，将幂指函数变形成上述形式，进而得出极限;其二利用形如 f（x） =e 的公式，将极限式变化到指数中去，再利用罗比达法则求极限.上述两种方法在计算过程中都比较复杂，且方法一还具有一定的局限性. 二、主要结论及应用 若对于 f（x），在某极限过程中（x→x ，x→∞）有f（x）→1、g（x）→∞时，我们令f （x）=1+u（x），g（x）= ，显然u（x），v（x）是在同一极限过程中的无穷小，则我们可得如下结论： 定理1：若在同一极限过程中limu（x）=0、limv（x）=0，则lim1+u（x） =e 证明：lim1+u（x） =lime =e =e 利用上述定理对于一些比较复杂的幂指函数的极限就可以通过计算lim （型），进而快速地给出极限值，如下例. 例1：求极限 ; . 解：令？摇u（x）= -1= ，v（x）=1-x

高等数学中常见函数的求极限的方法 [摘要] 极限是高等数学的重要组成部分,是高等数学的理论基础,是研究变量数学的有力工具。极限的运算题目类型多,技巧性强,灵活多变,难教也难学。本文对高等数学中一元函数极限的常见求解方法进行了归纳总结,并在某些具体的求解方法中就其要注意的细节和技巧做了说明。 [关键词] 函数极限计算方法 极限是高等数学的一个重要概念。其理论的确立使微积分有了坚实的逻辑基础,使得微积分在当今科学的整个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展,极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念,是从近似认识精确,从有限认识无限,从量变认识质变的一种数学方法。除此之外,高等数学中的某些概念,也是由极限引出,例如:导数,积分等。所以求函数的极限成为这一部分的重中之重,灵活掌握运用极限的求法是学好高等数学的基础。 函数的极限既然是微积分的一个重要内容,于是如何求出已知函数的极限,就是学习微积分必须掌握的基本技能。因此,本文对求函数的方法进行总结,并对于每种方法都是以定理或简述开头,然后以例题来全面展示具体的求法。 1 利用极限的四则运算法则来求极限 为叙述方便,我们把自变量的某个变化过程略去不写,用记号表示在某个极限过程中的极限,因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下: 定理在同一变化过程中,设,都存在,则 (1) (2) (3)当分母时, 有 总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例:求 解: 2 利用函数连续性求极限

我们知道,一切初等函数在其定义区间连续,对于初等函数,若为其定义区间内一点,则。 例: 解:在连续 在这里特别指出复合函数连续性:如果函数在点连续,而函数在点连续,且,那么复合函数在点也是连续的。其结论可改成 ,也就是说,极限号可以和函数符号互换顺序,这就等于为我们求极限提供一种方法。 例: 解: 3 无穷小量分出法 适用于分子、分母同时趋于,即型未定式。 例: 分析:所给函数中,分子、分母当时的极限都不存在,所以不能直接应用法则。注意到当时,分子、分母同时趋于,首先将函数进行初等变形,即分子、分母同除的最高次幂,可将无穷小量分出来,然后再根据运算法则即可求出极限。 解: (分子、分母同除) 意使用上述方法时,要求分子次数要小于或等于分母次数,那么当分子次数大于分母次数时怎么办呢? 例:求 分析:所给函数中分子、分母当时的极限都不存在,所以不能直接应用法则及上例方法。注意到无穷小与无穷大互为倒数关系,即在自变量的同一变化过程中,如果为无穷大量,则为无穷小量。反之,如果为无穷小量,则为无穷大量。则我们可以把分子次数大于分母次数的式子转化成分子次数小于分母次数的类型解决。 解:因为

罗必达法则求极限的应用及误区 通过例题展示了罗必达法则求极限的重要应用，并说明了罗必达法则在使用过程中与其他方法的配合及多种方法的灵活运用。同时指出了罗必达法则的不足之处——会失效，及罗必达法则失效时的方法选择问题。 标签： 罗必达法则;应用;不足 G4 在求00型与∞∞型未定式的极限中，罗必达法则可谓立下了汗马功劳。它不仅简化了求未定式极限的方法，也使得很多复杂的未定式极限问题得解。但对于某些问题看似可以用罗必达法则解答的，最后却走入了死胡同里。说明罗必达法则在解决未定式极限的问题上不是万能的，也有不足之处。本文将通过相关例题带大家领略罗必达法则的奇妙之处，并寻找解决其不足之处的方法。 1 罗必达法则的应用 学过高等数学的人都知道，罗必达法则是用导数的方法来求未定式极限的非常重要的定理。它是针对00型和∞∞型未定式的求解方法。下面举例说明罗必达法则的使用方法。 例1 求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1（00型未定式，使用罗必达法则求解） 解：原式=limx→13x2-33x2-2x-1（还是00型未定式，继续使用罗必达法则） =limx→16x6x-2（代入求极限） =32 说明：罗必达法则可以在求极限的过程中反复使用。 例2 求limx→0+lncotxlnx （∞∞型未定式，使用罗必达法则求解） 解：limx→0+lncotxlnx=limx→0+1cotx·（-1sin2x）1x （整理） =-limx→0+xsinxcosx =-limx→0+xsinx·limx→0+1cosx （分离出特殊极限）

=-1 例3 求limx→0+3x-3sin3x（1-cosx）ln（1+2x） 解：当x→0时，1-cosx～12x2，ln（1-2x）～2x， 故limx→03x-sin3x（1-cosx）ln（1+2x）（先利用等价无穷小量代换将函数简化） =limx→03x-sin3xx3（再用罗比达法则解答） =limx→03-3cos3x3x2（再次使用罗比达法则） =limx→03sin3x2x=92 说明：在使用罗必达法则的过程中，可以通过化简并灵活运用各种求极限的方法简化运算。 例4 求limx→+∞xneλx （n为正整数，λ>0） 解：反复应用洛必达法则n次，得 原式=limx→+∞nxn-1λeλx =limx→+∞n（n-1）xn-2λ2eλx =…… =limx→+∞n！λneλx=0 说明：对于比较抽象的问题，应该通过观察发现其特点，从而选择正确的方法。 对于其他类型的未定式，比如0·∞型，∞-∞型，00，1∞，∞0型，我们可以转化为00型与∞∞型未定式来解答。 例5 求limx→+∞x-2ex （0·∞型） 解：limx→+∞x-2ex =limx→+∞exx2 （变成∞∞型未定式） =limx→+∞ex2x=limx→+∞ex2 （使用罗必达法则两次）

求极限的13种方法（简叙） 龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。 一、利用恒等变形求极限 利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限 )1...()1)(1(22 lim n a a a n +++∞ → ，其中1

例2、求极限1 1lim 1 --→n m x x x ，其中m,n 为正整数。 分析 这是含根式的（0 0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令11,1 →→=t x x t mn 时，则当 原式=m n t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限 利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限o x →lim x x 2csc ) (cos 解 原式=o x →lim 2 1sin sin 21 lim csc )1(cos 2202 - --==→e e e x x x x x 四、利用夹逼准则求极限 利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限∞ →n lim n n n ! 分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为n n n n n n n n n o n 1121!≤⋅-⋅⋅=≤ ， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞ →n lim n n n ! =0 五、利用单调有界准则求极限 利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式

摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法. 关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、 英文题目Limit methods summarize Abstract: The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given. Key words: Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law, 一.引言 高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 二. 研究问题及成果 一、极限定义、运算法则和一些结果

. 第三章微分中值定理与导数的应用 第二讲洛必达法则泰勒公式 目的 1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法； 2．理解泰勒中值定理的内涵； 了解等函数的麦克劳林公式；．34．学会泰勒中值定理的一些简单应用． 重点 1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法； 2．使学生理解泰勒中值定理的内涵． 难点使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓． 一、洛必达法则 在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关 系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和．和 无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数 的理论推出一种既简便又重要的时，型未定式极限的计算，关于这种情形未定式极限的计算方法，并着重讨论当有以下定理．设定理1都趋于零；当时，函数及(1) 的某去心邻域内，(2)在点及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)， 则． 1 / 15 . 为无也就是说，当也存在，且等于存在时，；当也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来穷大时，法则．'Hospital)确定未定式极限的方法称为洛必达(L的严格证明：下面我们给出定理1显然应考虑微分中由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，分析值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯

西中值定理．定以假所以可及的取值无为证因求极关限，与 知，和(2)在点的某一邻域内是连续的．及设．于是由条件(1)为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的及则在以是这邻域内一点， ，使得等式之间至少存在一点条件，因此在和 之间) (在与成立．，则时的极限，注意到时对上式两端求．，所以或为无穷大)存在又因为极限 (．1成立．故定理和中仍为型未定式，且此时1和能满足定理注若从而确定则可以继续使用洛必达法则先确定，所要满足的条件，和，即2 / 15 . ． 且这种情况可以继续依此类推． 求．例1 时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必当分析 达法则． .解 在处是连续的．最后一个求极限的函数注求．2例解 . 注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．

求一元函数极限（含数列）的若干种方法 内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理 论基础。我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。 其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。并列举了大量的实例加以说明。 关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则 A number of ways to seek a function limit (including the number of columns) Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit. The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate. Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule

高数极限经典60题分步骤详解 1. 求数列极限)sin 1(sin lim n n n -+→∞ 本题求解极限的关键是运用三角函数和差化积公式，将算式进行转化，进而求出极限，过程如下： n n sin 1sin -+＝2 1sin 21cos 2n n n n -+++ ＝)1121sin(21cos 2n n n n n n n n ++++⋅-+++ ＝)121 sin(21cos 2n n n n ++++)(0∞→→n ∴ )sin 1(sin lim n n n -+→∞ ＝0 这是因为，当∞→n 时，0) 1(21 sin →++n n ，而21cos n n ++是有界函数，有界 函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0。 2. 令Sn = ∑=+n k k k 1 )!1( ，求数列极限Sn n ∞→lim 解： )! 1(1!1)!1(+-=+n n n n ∴ ∑=+n k k k 1 )!1(＝))!1(1 !1()!1)!1(1()!41!31()!31!21()!21!11(+-+--++-+-+-n n n n ＝1)(1)! 1(1 ∞→→+- n n 所以， Sn n ∞ →lim =[lim →∞ n 1)! 1(1 +- n ]＝1

3. 求数列极限)4321(lim 132-→∞ +++++n n nq q q q ，其中1