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前言
本篇既可以作为科普，也可以作为域论知识的一个应用，作为附录或外篇收录在本专栏中。
A1.1 尺规作图的起源与基本概念
尺规作图
尺规作图通常指的是利用无刻度的直尺和圆规，以及已知的平面几何图形，利用有限次操作，作出新的平面几何图形的问题。
尺规作图是古希腊数学界研究的重要课题之一，古希腊数学家欧几里得（Euclid）在他所著的《几何原本》中进行了系统性的研究。尺规作图的每次操作应当满足五项前提。 尺规作图的五项前提 （1）允许在平面上、直线上、圆弧上已确定的范围内任意选定一点 （2）可以判断同一直线上不同点的位置次序 （3）可以判断同一圆弧上不同点的位置次序 （4）可以判断平面上一点位于直线的哪一侧 （5）可以判断平面上一点位于圆弧线的哪一侧尺规作图的每个操作只能是五项公法中的一项。 尺规作图的五项公法 （1）根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线 （2）以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆 （3）确定两个已经做出的相交直线的交点 （4）确定两个已经做出的相交圆和直线的交点 （5）确定两个已经做出的相交圆的交点在中国的小学、初中阶段，学生需要掌握的尺规作图方法包括作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线等。还有一些作图，如过直线外一点作已知直线的平行线、已知三边作三角形、已知两角和一边作三角形等，也是较为简单的尺规作图任务。 17世纪，法国数学家笛卡尔（Descartes）先后发明了数轴和直角坐标系，将几何坐标体系公式化，建立了几何与代数的联系。给定单位长度与直角坐标系，平面上的点可以唯一地用实数对表达，并建立了长度与实数的一一对应关系。那么给定单位长度 ，能够造出哪些实数长度的线段呢？ A1.2 规矩数 规矩数 给定单位长度 ，能用尺规作图方式作出的实数称为 规矩数（constructible number），也称可造数或可构作的数。所谓规矩中的“规”，古代指圆规，用于画圆；“矩”最早指曲尺，后来也指直尺，用来画直线和度量长度。 实数域内的规矩数集合满足以下定理。 定理：所有规矩实数组成的集合是实数域的一个正元素在平方根下封闭的子域。这句话的意思是，规矩实数组成的集合不仅是子域，而且其中正元素的平方根运算也是封闭的，原因很简单： 证明：设 和 是非零的规矩实数。 （1）利用平行关系，可以利用尺规构造 。 （2）如果 ，利用圆内接直角三角形和射影定理，可以构造 。因此，所有的有理数都是规矩数，有一些无理数也是规矩数。而且如果 是规矩数，则二次多项式 的根也是规矩数。但 是否是规矩数？暂时还不得而知。也可以将规矩数推广到复数域上。一个复数 ，其中 ，如果 和 是规矩数，则 是规矩数。另外，所有规矩复数组成的集合是复数域在平方根下封闭的子域，证明过程由复数的De Moivre定理可立即得出。接下来的内容，不给出任何证明过程，有兴趣的读者请参阅相关资料。 2-塔 如果 是数域， 称为 2-塔（2-tower），其中对于 有 。如果存在一个2-塔使得 ，则称 是多重二次的。如果对于域的扩张比较熟悉，就很容易理解 的含义。事实上一定有 ，其中 是 上某个二次多项式的根。“多重二次”的意思是在每个子域上都是二次根，例如 都是多重二次的，但 就不是多重二次的。可以证明，所有多重二次的复数构成的集合是复数集在平方根下封闭的子域。而且对于复数 ，其中 ， 是多重二次的当且仅当 和 是多重二次的。对于复平面上的两个点 和 ，如果实数 是多重二次的，则直线 的斜率和截距都是多重二次的；两点之间的距离 也是多重二次的。 定理：一个复数 是规矩数当且仅当 是多重二次的。法国数学家Wantzel在19世纪证明了： 定理：如果一个数 是规矩数，则它是 中某个次数为 的幂的不可约多项式的根， ，其中 是自然数。因此得到，所有的规矩数都是代数数。而且 不是规矩数。Wantzel还证明了古希腊三大几何问题中的两个（作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍；三等分一个已知角）是不可能的。德国数学家Lindemann证明了圆周率 是超越数，从而证明了最后一个几何问题（作一正方形，使其面积为给定圆的面积）是不可能的。另外，著名数学家Gauss和Wantzel证明了正 边形是可构作的（ 是素数）当且仅当存在自然数 使得 ，这样的 称为 Fermat素数。 A1.3 欧式作图尺规作图还有其他变形问题，统称为欧式作图问题。 单规作图 尺规作图通常指的是利用一把圆规，以及已知的平面几何图形，利用有限次操作，作出新的平面几何图形的问题。丹麦数学家Mohr和意大利数学家Mascheroni分别独立证明了，所有尺规作图问题除了连线外都可以用单个圆规解决。 松规作图 松规作图通常指的是利用无刻度的直尺和松圆规，以及已知的平面几何图形，利用有限次操作，作出新的平面几何图形的问题。松圆规与（紧）圆规的区别是，松圆规离开纸面无法保持张开的状态，因此不能直接转移距离。可以证明，松规作图与尺规作图也是等价的。 锈规作图 锈规作图通常指的是利用一把锈圆规，以及平面上已知的两个点A和B，利用有限次操作，作出新的平面几何图形的问题。锈圆规与圆规不同的是，锈圆规的半径永远是固定的。中国数学家张景中、杨路、侯晓荣证明了，从给定两个点出发，锈规作图与尺规作图是等价的。 单尺作图 单尺作图通常指的是利用一把无刻度的直尺，以及已知的平面几何图形，利用有限次操作，作出新的平面几何图形的问题。这是欧式作图中最难的问题。法国数学家Poncelet证明了，如果预先在平面上画好了一个圆及其圆心，就可以用单尺作图完成所有尺规作图问题。然而只利用单尺作图失去了长度信息，能作出的平面图形极其有限。 A1.4 二次扩张既然提到了2-塔，那么就顺便补充二次扩张的相关知识。我们知道，对于一个域 的扩域 ，可以把 看作是 上的线性空间， 中的任一元素都是 -基 中元素的线性组合，指标集中所含元的个数就是 在 上的维数，称为扩张的度，也成为扩张的次数，记作 。我们证明过 ，而 ， ，另外还有 。 二次扩张 次数为 的扩域称为 二次扩域（quadratic extension field），或者称二次扩张。先从一次扩张开始谈起。我们曾经用到过这一结论：如果域扩张 有 ，则 。其原因是， 中的任意元素都是 -基，而且 是基，所以每个 中的元素都是 中的元素。 二次扩域的构造 设域 的特征不是 ，那么对于 ，单扩域 是 的二次扩域，其中 是 中不可约多项式 的根。注意到 是不可约多项式隐含了 这一条件。 双二次扩张 设 和 是二次扩张，则称 为 双二次扩张（biquadratic extension）。双二次扩张是四次扩张。例如 和 都是 的双二次扩张，而且都是 的单扩域。鉴于之前没有证明，这里补充 的证明。证明：由于 中的元素都可以表示为 ，从而显然有 。另一方面， 中包含 即 ，因此 。因此也有 ，从而 ，也有 ，这样就证明了 。 |
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