01弦长公式的本质

平面内，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则有两点间距离公式

若已知直线AB的斜率k，则可得k与A,B坐标关系

公式可作变形如下

将两式带入两点间距离公式可得

计算弦长即是计算直线与曲线两交点间的距离，可见：

02三种常见距离问题的通用解法

如上分析，弦长问题确切地说是两点间距离问题的一种特殊情形。下面分析三种距离问题的处理方式：

1.一点在曲线上另一点不在曲线上：

由图，分析：

只需联立解出点B的横坐标即可,完整解答如下：

2.两点都不在曲线上：

由图，分析：

可见，我们只需计算x1+x2或y1+y2即可，两种算法只是运算繁简上有区别，具体问题中，可根据题目给出的已知量与未知量，尽量避开未知信息进行使用。

完整解答如下：

3.两点都在曲线上：

由图，分析：

我们由《直曲联立能带来什么》已探知如下结论：

亦即：|x1-x2|可以即可把两根和两根积带入算得，也可由∆算得。值得一提的是，第一种算法是考纲认可的通性通法，但计算较繁琐；第二种算法部分地区考纲并不允许直接使用，计算起来相对简便一些。以笔者近些年的阅卷经验来看，采取第一种算法的考生，虽然思路连贯，但鲜有算对结果者。

事实上，我们在联立消元得到一元二次方程后，继续看着方程写出∆和x1+x2，x1x2是顺理成章的事情。因此在使用∆运算|x1-x2|前，将必要的过程写上，但真正在脑海里进行的运算过程是用∆完成的。这样既保证了过程的合理性，又提高了最终结果的准确率。

完整解答过程如下：

【评注】上述过程中虽写出了韦达定理表达式，但并未让其参与运算，而是用∆直接完成运算。

03总结

通过本篇内容，我们理应知道，弦长问题是两点间距离问题的一种最特殊的情形，高考考察内容除弦长外，更细节的要求是平面几何里两点之间的距离。

下面的文章中，将展示几道考察两点间距离问题的例题，以充分展示这三种常见问题的处理细节与手段。

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原有bug题