几何画板（SketchPad）是美国Key Curriculum Press公司的产品（http://www.keypress.com），诞生于20年前，一直是动态几何领域的佼佼者，被誉为“史上最好的教育软件” （Best Educational Software All Time）。96年被引人教社入中国后，也得到了中学数学教育者的普片欢迎，在数学教学中得到了广泛深入的使用（甚至扩展到物理学科），可以说是使用率最高、使用效果最好的一款教育软件（值得玩味的是软件盗版功不可没）。   

    几何画板的成功在于功能非常强大、使用非常简单（还有推出最早的先发优势）。

    目前已升级到5.0版，功能日臻成熟（原来被用户诟病的不支持二次曲线交点等问题也都得以解决）。教师既可以事先制作课件用于教学，也可以在教学现场所见所得地实时绘图、动态展示，而开放的编辑平台使几何画板课件可以随意修改，促进了教师间的资源交流（这点有点像PPT的流行），广泛的用户应用积累了大量几何画板课件，例如人教社网站上就提供与其数学课本配套的几何画板课件，各大教学资源交流网站（如中学学科网）上，也都有系统的几何画板的课件集供下载使用。

    关于几何画板的功能，不必介绍，网上教程很多，这里引用两篇文章介绍一下几何画板在教学中的应用。这是CNKI中下载次数和被引次数较高的两篇文献。

一、 《高师数理学刊》2007年3月

几何画板的实践与认识李敏（重庆师范大学数学与计算机科学学院）

    摘要：概述了几何画板的主要功能及用法，阐述了如何运用几何画板辅助高等数学教学和从事数学实验，培养探索问题、解决问题的能力．     关键词：几何画板；数学实验；素质教育     中图分类号：G434 文献标识码：A

    随着计算机技术的迅猛发展，计算机应用的日益普及和数学软件的不断发展，探讨数学软件在数学教学中的应用，对促进数学教学改革、培养创新型人才具有一定的现实意义。本文就如何利用几何画板辅助高等数学教学和从事数学实验、展示数学之美，培养学生探索问题、解决问题的能力谈谈自己的做法。

1．几何画板概述

    几何画板是以点、线、圆为基本元素。通过对这些元素的构造、变换(平移、旋转、缩放、反射)等，可以构造出较为复杂的图形[1]。利用几何画板动态的图形功能，用鼠标拖动图形上的任一元素，可见，事先给定的所有几何关系都保持不变。利用其方便的函数图象功能，可画出由直角坐标和极坐标方程给出的函数表达式的函数图像，还可对动态的图形进行“跟踪”，并能显示其跟踪的“轨迹”。利用几何画板的动画功能，还可以动态地表现几何图形变换过程，从而使要表现的几何问题更容易接受，比如，可实现将一个三角形割补成一个平行四边形，平行四边形又恢复成原来的三角形的整个旋转动画过程，利用这个功能，可以培养学生们的空间想象力。利用几何画板的度量和计算功能，可以对所选定的对象(包括线段长度、角度、圆周长、面积等)进行度量，并能对度量的结果进行四则运算、函数运算，同时利用几何画板的制表功能可将这些数据做成表格动态地显示在操作区中，随着所作对象的变换，其中的数据也能动态地变化，这样可以动态地观察各个对象之间的变化及关系。另外，利用几何画板的迭代功能，还可以方便地作出数列的图象、漂亮的分形图等等。实现上述功能不需任何编程。由此可见，几何画板为我们提供了一个自由的、开阔的、十分理想的“做数学”的环境，我们可以用它去探索、发现、表现、总结数学规律，建立自己的认识体系，在这个过程中逐步培养探索问题、解决问题的能力，从而可培养自己的创新意识和创新精神。几何画板不失为一种优秀的教、学辅助软件，在教学中利用数学软件正在逐渐成为教育改革的重要方向之一。

2.用几何画板辅助高等数学教学

2.1 用几何画板辅助极限教学

    高等数学的研究对象是变动的量，即函数，而极限方法是研究变量的一种基本方法，极限作为工具贯穿于高等数学的始终。因此，深入、准确理解极限概念是学好高等数学的关键。几何画板可以辅助对极限概念的理解。

    数列作为函数的特例，在讲解其极限时，可利用几何画板画出数列的图形，并利用其制表功能将其数据做成表格，观察其变化趋势，这样有助于直观地理解数列极限的概念。

    以考查数列{n√ n}的极限为例，在图表下拉菜单下，新建函数f (x) = （x）1/ x 和参数n =1；计算f (n)和n + 1的值，选中n =1和f (n)的值绘制点；选中n =1作为原象，在变换菜单下作由原象n到初象n + 1的迭代，选择适当的迭代次数可得图1 及相应的表格（见表1）。从图1及相应表格中的数据可见，随着n的增加f (n)越来越与1 接近，由此可得当n趋于无穷大时，数列{n√ n}以1 为极限。

2.2 用几何画板辅助定积分的应用教学

    定积分的应用分为在几何学上的应用和在物理学上的应用，而定积分在几何学上应用的关键是画出由平面曲线所围成的平面图形，但要画出这些图形往往并不是一件容易的事，特别是由参数方程所给出的函数的图形。若在教学中引入几何画板，利用其函数作图功能这些问题便可迎刃而解。如要求由曲线s(θ ) = 3cosθ 与t(θ ) =1 + cosθ 所围成的图形的面积，可这样做：在图表下拉菜单下选极坐标网格,新建并绘制函数s(θ ) = 3cosθ 和t(θ ) = 1+ cosθ ，可得图2。

    从图2 中可见它们所围成的公共部分是在y 轴右方且关于x 轴对称的，因此，只需求出其第一象限内所围成的图形的面积再乘以2即可。而第一象限内交点处的坐标为(π/3, 3/2)，这样便可确定θ 的变化范围是0 到π/3和π/3到π/2 ，相应的r 是t(θ) = 1+ cosθ 和s(θ) = 3cosθ ，从而可容易求得其对应的面积。

3 运用几何画板从事数学实验

    数学实验是一种新的数学教学和学习模式，它是实验者根据实际问题的特点和要求，利用数学软件探索问题、发现问题和解决问题的过程，经过数学实验不仅有助于人们对数学知识的掌握，更重要的可以提高学习数学的积极性和应用意识，培养探索问题、发现问题、解决问题的能力和创新精神[2]。

    几何画板为我们提供了一个自由的、开阔的、十分理想的“做数学”的环境，运用它从事数学实验可使抽象问题变得直观，可以发现、探索、表现、总结几何规律，建立自己的认识体系，培养发散性思维。

例 三角形ABC 的一边AB 固定，另一顶点C 在定圆O上运动，试探求该三角形重心的轨迹。

    该问题只说AB 边固定，并没有说明AB 固定在哪里，要回答该问题，借助于几何画板可轻松解决：先画一个定圆O，在其上任取一点C ，再任画2 点A ，B ，连结A ，B ，C 可得三角形ABC ，画出三角形ABC的重心D ，追踪点D ，动画C ，可得重心D 的轨迹（见图3）。

4 几何画板展示数学之美

    现实生活中的许多现象表面上看来似乎与数学无关，其实它们都隐藏着很深的数学道理。如：美丽的窗花、漂亮的花瓣、月亮和涟漪等等。这些都可以利用几何画板再现其数学之美。

4.1 动画创造美

    利用几何画板的动画和追踪功能可以构造出许多美丽的图形来（见图4）。

4.2 迭代产生美

    运用几何画板的迭代功能可画出美丽的分形图（见图5）。

4.3 函数图象功能创造美

    在极坐标系下绘制出函数f (θ) = sin(nθ) + cos(nθ)，当n = 6时的图象，便可得出形如图6 的美丽花瓣，并且还可拖动A 点得到n 取其它值时不同形式的漂亮花瓣。

    总之，几何画板的功能十分强大，利用它还可以作出更多有趣的东西。

二、 《现代教育技术》2008年13期

几何画板与高中函数教学整合研究吴仕勇1 王天志2  方 奎3 （1，2．云南师范大学，3．云南曲靖富源一中）

    【摘要】数形结合的思想是几何画板与函数教学整合的切入点，通过几何画板动手实验是学生学习兴趣的激发点。通过教整合，不但能突出函数教学的重点，突破教学的难点，而且能使学生学得开心，教师教得舒心，最终提高了函数教与学的双效率。     【关键字】几何画板；函数；整合     【中图分类号】G40-057 【文献标识码】A 【论文编号】1009—8097（2008）13—0083—03

    新课程标准强调注重信息技术与学科课程的整合，指出现代信息技术的广泛应用正在对学科课程内容、学科教学、学科学习等方面产生深远的影响。“信息技术与课程的整合”是我国面向 21 世纪基础教育教学改革的新视点。为适应新教改和“新课标”要求，教师必须更新观念，注重教学过程中角色的转变，在学科教学中充分有效的运用各学科教育技术平台，利用多媒体信息技术来辅助呈现传统教学中不能或难以呈现的课程内容，有利于学生主动地进行培养观察、猜测、交流、实验、验证、推理等自主探究的数学活动。     几何画板是理科教学比较成熟的软件平台，它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，它能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化；促进学生提高从学科的角度发现、提出、探究和解决问题的能力,加强学生的表达、交流及使用信息技术的能力，从而提高了课堂教学效率。作为信息时代的教师有必要学会使用现代化的教学工具，在适当的时候充分利用它们来辅助自己的教学过程，为学生创设丰富多彩的教学情境，增设疑问，巧设悬念，激发学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，积极配合课堂教学，主动参与教学过程，弥补传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，为教师突出教学重点，突破教学难点，提高课堂效率奠定了坚实的基础，从达到课堂教学最优化；几何画板平台正好是能帮助老师有效地达到这一教学效果的课件制作平台之一。

一函数教学    函数是高中学数学中最基本、最重要的概念，函数的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分，是高中数学课程的知识主线，在学生现有的认知及传统教学环境条件下，学生所接触到的函数一般都是函数解析式固定、函数图像不变的情形，怎么样才能让学生更好的理解和掌握含参变量函数的性质、图像随参数动态变化的过程，以及对函数中抽象数学符号的理解和掌握？这些都是传统教学中难以解决的问题。     函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，即“数”与“形”结合的问题，是中学数学教学的重点内容之一。对于学生来说，函数的解析式，函数的图像和函数的性质之间怎样相互联系，一直是难以理解的问题在传统教学中，由于教学手段的限制，只能画出特定参数下静态的函数图像，不但不能准确反映出解析式、图像和性质三者之间的固有联系，而且还占用了大量的课堂时间。正如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。”如何真正实现数形结合的思想，这也是传统教学所面临一个难题。     关于函数教学中存在的问题，教师普遍反映：    （1）初、高中函数知识跨度大、较抽象，分类讨论的标准很难把握。    （2）很多函数符号对学生来说是陌生的、抽象的，能否利用已有函数知识来学习新函数，怎样建立起它们之间的联系是一个难点。    （3）对于连续函数的图像，用传统教学中的描点作图法显得无能为力，怎样来呈现这个连续性是教学中的难点问题。    （4）分段函数的概念、定义域、图像、以及作图过程是教学中学生难以理解和实现的问题。    （5）函数图像的各种变换（平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换）是传统教学中老师难以呈现的问题。    （6）含参数变量函数的图像变换及其性质（由各参数变化引起的函数图像的各种变化）也是教学过程中老师难以实现的问题。    （7）根据函数导数的性质来研究函数单调性，极值问题属高等数学的内容，用代数与几何的方法(数形结合法)来研究很方便，但教师很难在传统教学中呈现出来。    （8）数形结合法解题是解决数学问题的一种非常有效的方法，如应用函数图像解不等式问题，但在传统教学中教师却很难准确地将图形画出来。    （9）在探究学习由函数图像研究函数性质时，往往需要通过观察一些特殊点来猜测某个性质，然后再证明猜测的结论，可是特殊点地寻找是传统教学中的一个难点。    （10）由图像性质求解析式及轨迹问题是传统教学中难以实现的问题，也是学生难以理解的内容之一。

二解决问题    面对这一系列传统教学方式难实现及讲清楚的问题，如果利用数形结合的思想，这一个个难题就能迎刃而解。几何画板正是能很好实现数形结合思想的教育软件平台之一，这也正是几何画板与高中函数教学整合的切入点，在高中函数教学中，老师可以充分利用几何画板这一特性来整合自己的教学，真正体现了让数学贴近生活，让学生动手操作的新课程理念，帮助自己化解教学难点，突破教学重点，提高课堂效率，达到最佳的教学效果。 1 利用几何画板整合高中函数教学 案例一：二次函数y = ax2 + bx + c的函数图像。 （1）整合    利用几何画板，先定义三自变量参数，依次作为二次函数y = ax2 + bx + c的参数a、 b 、 c ，利用几何画板图表命令下的绘制新函数子命令，就可以精确作其函数图像。如图（2-1）

    通过几何画板与二次函数，利用几何画板中二次函数的图像，让二次函数顶点、对轴、开口方向一目了然，充分呈现二次函数解析式中的二项系数 a、一次项系数 b 及常数项 c 之间的联系。    整合后，教师通过改变二次函数y = ax2 + bx + c中的数 a、b、c，让其值作相应的变化，从而使二次函数图像也之作出相应的变化。通过观察这一系列动态演示过程和自实际动手实验，学生便能轻松得出二次函数y = ax2 + bx + c的图像与其参数具有如下的关系：     1） 系数 a 与二次函数y = ax2 + bx + c的图像关系：动点 a 改变 a 值时可得：     ①开口方向。当 a >0 时，开口向上；当 a 0和c