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§

3.2 

均值不等式

教案（一）

第

1

课时

授课类型：

新授课

【教学目标】

1

．知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定

理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2

．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3

．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式

2

a

b

ab





的证明过程；

【教学难点】

均值不等式

2

a

b

ab





等号成立条件

【教学过程】

1.

课题导入

均值不等式

2

a

b

ab





的几何背景：

如图是在北京召开的第

24

界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学

家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去象一个风车，

代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从

面积

的关系去找相等关系或不等关系。

2.

讲授新课

1

．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形

ABCD

中右个全等的直角三角形。设直角三角

形的两条直角边长为

a,b

那么正方形的边长为

2

2

a

b



。这样，

4

个直角三角形的面积的

和是

2ab

，正方形的面积为

2

2

a

b



。由于

4

个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们

就得到了一个不等式：

2

2

2

a

b

ab





。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即

a=b

时，正方形

EFGH

缩为一个点，这时有

2

2

2

a

b

ab





。

2

．得到结论：一般的，如果

)

"

"

(

2

R,

,

2

2

号

时取

当且仅当

那么











b

a

ab

b

a

b

a

3

．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

2

2

2

)

(

2

b

a

ab

b

a









当

2

2

,(

)

0,

,(

)

0,

a

b

a

b

a

b

a

b













时

当

时

所以，

0

)

(

2





b

a

，即

.

2

)

(

2

2

ab

b

a



