本篇我能一站式带你看懂菲涅尔衍射中的半波带法与矢量图解法。（光学考研辅导可私信）

惠更斯提出了子波原理，菲涅尔将其完善为：子波的叠加成干涉或衍射。

在菲涅尔时代，还没有数值模拟衍射场的计算机，所以必须要施加足够良好的几何对称性来进行半定量的分析——菲涅尔半波带法和矢量图解法。

菲涅尔半波带法导出了历史上著名的泊松亮斑。在书上会给出如下的小圆孔的衍射装置：

曲率半径为R的球面波透过小孔时，孔的边缘是b点，自边缘向光轴线中心逐λ/2即半波长划分子光源，即把轴上P点的衍射看成是稠密的干涉，这个观念是重要的。事实上，在惠更斯-菲涅尔原理看来，干涉是波叠加的离散求和版本，衍射是波叠加的连续积分版本。只要是足够稠密的干涉分析，就能取得近似衍射的效果。

矢量图解法就是更稠密的干涉。菲涅尔半波带法可以看作矢量图解法的一种特殊情形。

那能不能再稠密呢？——诶有同学问了，为什么一定要是λ/2半波带呢？1/4λ行么？

——可以用1/4λ、1/3λ等其他波带，但是麻烦一些，这是因为在傍轴近似条件下，只有半波带可以简化处理：相邻半波带近似相互抵消。如下图：

上图这种将相位递增的矢量叠加按照螺旋方式作图的方法，被称为矢量图解法。

所以它是个交错级数（上下矢量箭头）的求和，结果有两种：

偶数个半波带时≈0；奇数时≈半径长度=1/2倍E1，也就是自由传播时的振幅Af。

接下来的问题就是如何计算半波带数，它和菲涅尔数的关系是什么？如下图：

式4.2.7或式4.2.8中的ρ²/λ是菲涅尔数（后边还会讲到），m就是菲涅尔半波带数，它是整数是就可以直接套用半波带法的结论，即偶0奇半；m是非整数时就需要用矢量图解法求解合振幅矢量。

对于轴上P点，其菲涅尔数m会随Zp变化而变化，因而呈现出明暗交替的现象。如果是圆屏衍射，遮挡住前m级只会让矢量螺旋圆半径收缩，是从m+1级半波带开始自由传播，自由传播在矢量螺旋圆上就是一条自圆弧指向圆心的半径矢量，这个振幅的光强就是泊松亮斑。如下：

这个总是有的光就是泊松亮斑。对于矢量图解法，我们需要记住的屏状外围自由通光在矢量图中的处理。对于屏幕遮挡部分，零振幅空走前m级的相位角。对于自由通光部分，剩余的m+1级后的振幅直接指向圆心，如上图图4.2.14(a)(b)(c)的画法。

但考试题还可能出得比这个难，因为这只是课本例题，难度是小于课后习题（基本上就是各院校专业课考试题难度）的。

一些几何对称性仍然良好（仍能用半波带法或矢量图解法），孔径是环、扇的情形，绘制矢量的关键是正确处理遮挡。遮挡有两种，一种是径向的半波带数m的遮挡，一种是环向的同一m级次的遮挡。第一种是只零振幅空走相位角，第二种是振幅按环扇比例缩短。

最简单的是无扇、半波带数m是整数。

从P点r0处开始算半波带数m，由于是环形（无扇形），则半波带是100%遮挡或透过。一共透过了第1、3级半波带，不是相邻而是隔了一级，所以相加而不是相消。

复杂一些的是有扇形或m是分数：

先说比较简单的图(b)。从衍射孔中心向外透过一个m=1的第一级λ/2带，相位从底端起点过180°画一个A1；然后再向外对于m=2的半波带，其中有3λ/4-λ/2=λ/4带是遮挡的，遮挡m按前文所述是空走相位角，直接过90°；另外λ/4带是自由通光的，所以续上一个就地直接指向圆心的A2，再进行叠加。

再说复杂一点的图(a)。从中心，首先是透一个λ/4带，相位从底端起点过90°画一个A1；然后再向外又是一个λ/4带，其中环向有一半是遮挡的，所以这个振幅得按比例缩到1/2，于是画一个A2；此时已经λ/2带了，相位走到180°处，外侧有一半是自由透过，于是就地指向圆心并缩短一半画一个A3，最后把这仨合起来得到Ap

最后说更复杂的图(c)。从中心，首先是一个λ/4带透3/4，所以相位从底端起点过90°并按环扇比例缩至3/4；然后是一个3λ/4带完全透光，相位从底端起点套一圈回到起点，于是画一个A2，两个向量共线直接相加即可，得到Ap=1/4倍A2

怎么样，是不是抓住两个遮挡后就把这一类题目弄懂了。

如果粉丝需求强烈，可以考虑更一篇夫琅禾费衍射中的矢量图解法讲解及解题步骤。另外，如果有想让作者用MATLAB绘制本集相关图像的也可私信。