点乘指： \vec{a}·\vec{c} ，两个向量的点乘，将得到一个数量（数值）

注意：两个向量的点乘，不会得到一个新的向量

对比：一个实数×一个向量=一个新的向量，这个乘法叫做数乘

点乘，一般也叫两个向量的内积，点乘和内积涵义相同，两种表述而已

点乘计算公式：若存在两个向量 \vec{a},\vec{c}

\vec{a}·\vec{c}=||\vec{a}||×||\vec{c}||×cos\theta= 一个具体的数量（数值）

如果两个相同的向量相乘：此时两个向量的夹角为0，即 cos\theta=1

那么： \vec{a}·\vec{a}=||\vec{a}||×||\vec{a}||×cos(0)=||\vec{a}||×||\vec{a}||×1=||\vec{a}||^2

也就是：两个相同向量点乘=该向量模的平方

由三角形的余弦定理可知：

我们将这个等式移项后变形为： cos\theta=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

用向量的视角来看，即存在两个向量 \vec{a},\vec{c} ，起点相连后可得：

由上面的定义可知： \vec{a}·\vec{c}=||\vec{a}||×||\vec{c}||×cos\theta

因为： cos\theta=\frac{||a||^2+||c||^2-||\vec{c}-\vec{a}||^2}{2||\vec{a}||·||\vec{c}||}

所以： \vec{a}·\vec{c}=||\vec{a}||×||\vec{c}||×\frac{||a||^2+||c||^2-||\vec{c}-\vec{a}||^2}{2||\vec{a}||·||\vec{c}||}

化简后： \vec{a}·\vec{c}=\frac{||a||^2+||c||^2-||\vec{c}-\vec{a}||^2}{2}

此时我们引入平面直角坐标系来看，设存在两个向量 \vec{a}=(x_{2},y_{2}),\vec{c}=(x_{1},y_{1})

化简后： \vec{a}·\vec{c}=\frac{2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2}}{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}

同理，在n维向量中，任意两个同维向量的点乘为：

即：两个同维向量点乘=每个分量相乘再求和

于是可以得到新的等式：

\vec{a}·\vec{c}=||\vec{a}||×||\vec{c}||×cos\theta=a_{1}·c_{1}+a_{2}·c_{2}+...a_{n}·c_{n}

也就是： ||\vec{a}||×||\vec{c}||×cos\theta=a_{1}·c_{1}+a_{2}·c_{2}+...a_{n}·c_{n}

注意：不适用于多个向量的点乘

因为：两个向量的点乘得到的是一个数量，这个数量再乘第3个向量=数乘

先回忆下，在直角三角形中， cos\theta 的涵义

余弦的定义： \angle \theta 的余角正对着的直角边/直角的对边(也就是斜边)

此时，我们将三角形，转化成2个向量，分别做垂线，再来看下向量点乘公式的涵义

左图，我们将 ||\vec{a}|| 转化为 \vec{c} 上的线段，右图，我们将 ||\vec{c}|| 转化为 \vec{a} 上的线段

也就是：将一个向量的长度映射到另一个向量上的一个有向线段

此时：投影后的有向线段，和投到的向量是同方向

也就是：通过余弦公式完成了将一个向量的长度转化成另一个向量上的长度

此时，我们再看： \vec{a}·\vec{c}=||\vec{a}||×||\vec{c}||×cos\theta

\vec{a}·\vec{c} 实质上就变成了：两个同向线段的长度的积

通过上面的公式可知： \vec{a}·\vec{c}=||\vec{a}||×||\vec{c}||×cos\theta

移项变换后： cos\theta=\frac{\vec{a}·\vec{c}}{||\vec{a}||×||\vec{c}||} ，分母上两个向量模(长度)的积>0

九年义务教育让我们知道：

① 当 0 < \theta cos\theta>0 ，即意味着 \vec{a}·\vec{c} >0

② 当 \theta =90°时， cos\theta=0 ，即意味着 \vec{a}·\vec{c} =0

③ 当 90°