在实际应用中，计算机只能处理离散信号，所以对连续信号 x ( t ) x(t) x(t)进行时域采样，得到一组离散样本 x ( n ) x(n) x(n)，对它进行傅里叶变换得到 X ( w ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j w n X(w)=\sum_{n=-∞}^{∞} x(n)e^{-jwn} X(w)=n=−∞∑∞​x(n)e−jwn 上式即为离散时间傅里叶变换（DTFT），由于变换后得到的频域值仍然是连续的，继续对频域进行采样，得到 X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π k n N X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j\frac{2\pi k n}{N}} X(k)=n=0∑N−1​x(n)e−jN2πkn​ 上式就是离散傅里叶变换（DFT）。目前计算机中常用的快速傅里叶变换（FFT），就是DFT的快速算法。

也就是说：DFT是DTFT的离散化，DTFT在频域是连续的，在归一化ω轴上是连续的，以2π为周期。

离散傅里叶级数（DFS）是针对周期序列的，即无限长序列； 而将DFS取出一个周期就是DFT，即DFT是有限长序列； 实际上，DFT就是DFS在一个周期内的取值，一个序列的DFT实际上就是这个序列的频谱在一个周期内等间隔采样的样点值。

离散傅里叶变换：DFT（Discrete Fourier Transform）

其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。

更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。

设 x ( n ) x(n) x(n)是一个长度为 M M M的有限长序列，则定义 x ( n ) x(n) x(n)的 N N N点离散傅里叶变换为 X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) W N k n k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{kn} \qquad k=0,1,\cdots,N-1 X(k)=DFT[x(n)]=n=0∑N−1​x(n)WNkn​k=0,1,⋯,N−1 X ( k ) X(k) X(k)的离散傅里叶逆变换（Inverse Discrete Fourier Transfrom,IDFT）为 x ( n ) = I D F T [ X ( k ) ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X ( k ) W N − k n n = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 x(n)=IDFT[X(k)]={1\over N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_{N}^{-kn} \qquad n=0,1,\cdots,N-1 x(n)=IDFT[X(k)]=N1​k=0∑N−1​X(k)WN−kn​n=0,1,⋯,N−1 式中， W N = e − j 2 π N W_{N}=e^{-j \frac{2\pi}{N}} WN​=e−jN2π​， N N N称为 D F T DFT DFT变换区间长度， N ≥ M N\ge M N≥M。

DFT与傅里叶变换和Z变换的关系：

设序列 x ( n ) x(n) x(n)的长度为 M M M，其 Z Z Z变换和 N ( N ≥ M ) N(N\ge M) N(N≥M)点DFT分别为 X ( z ) = Z T [ x ( n ) ] = ∑ n = 0 M − 1 x ( n ) z − n X(z)=ZT[x(n)]=\sum_{n=0}^{M-1}x(n)z^{-n} X(z)=ZT[x(n)]=n=0∑M−1​x(n)z−n X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] N = ∑ n = 0 M − 1 x ( n ) W N k n k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 X(k)=DFT[x(n)]_N=\sum_{n=0}^{M-1}x(n)W_{N}^{kn} \qquad k=0,1,\cdots,N-1 X(k)=DFT[x(n)]N​=n=0∑M−1​x(n)WNkn​k=0,1,⋯,N−1 比较上面二式可得关系式 X ( k ) = X ( z ) ∣ z = e j 2 π N k k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 (1) X(k)=X(z)\Big|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}} \qquad k=0,1,\cdots,N-1 \tag{1} X(k)=X(z)∣∣∣​z=ejN2π​k​k=0,1,⋯,N−1(1) 或 X ( k ) = X ( e j ω ) ∣ ω = 2 π N k k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 (2) X(k)=X(e^{j\omega})\Big|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k} \qquad k=0,1,\cdots,N-1 \tag{2} X(k)=X(ejω)∣∣∣​ω=N2π​k​k=0,1,⋯,N−1(2) （1）式表明序列 x ( n ) x(n) x(n)的 N N N点 D F T DFT DFT是 x ( n ) x(n) x(n)的 Z Z Z变换在单位圆上的 N N N点等间隔采样。（2）式则说明 X ( k ) X(k) X(k)为 x ( n ) x(n) x(n)的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)在区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上的 N N N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。

由此可见，DFT的变化区间长度N不同，表示对 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)在区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。

所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为用计算机分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT进行近似谱分析。

  工程实际中，经常遇到连续信号 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)，其频谱函数 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)也是连续函数。为了利用DFT对 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)进行频谱分析，先对 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)进行时域采样，得到 x ( n ) = x a ( n T ) x(n)=x_a(nT) x(n)=xa​(nT)，再对 x ( n ) x(n) x(n)进行DFT，得到的 X ( k ) X(k) X(k)则是 x ( n ) x(n) x(n)的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)在频率区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上的 N N N点等间隔采样。这里 x ( n ) x(n) x(n)和 X ( k ) X(k) X(k)均为有限长序列。

  然而，由傅里叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间必然为无限长。所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。因此，按采样定理采样时，上述两种情况下的采样序列 x ( n ) = x a ( n T ) x(n)=x_a(nT) x(n)=xa​(nT)均应为无限长，不满足DFT的变换条件。

  实际上对频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生频谱混叠失真，可用预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，采样点数太多，以致无法存储和计算，只好截取有限点进行DFT。

  由上述可见，用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。实际上从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截取幅度很小的部分时间信号是允许的。因此，在下面分析中，假设 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。

设连续信号 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)持续时间为 T p T_p Tp​，最高频率为 f c f_c fc​。 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)的傅里叶变换为 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)，对 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)进行时域采样得到 x ( n ) = x a ( n T ) x(n)=x_a(nT) x(n)=xa​(nT)， x ( n ) x(n) x(n)的傅里叶变换为 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)。

由假设条件可知 x ( n ) x(n) x(n)的长度为 N = T p T = T p F s N=\frac{T_p}{T}=T_p F_s N=TTp​​=Tp​Fs​ 式中， T T T为采样间隔， F s = 1 T F_s=\frac{1}{T} Fs​=T1​为采样频率。

用 X ( k ) X(k) X(k)表示 x ( n ) x(n) x(n)的N点DFT，下面推导出 X ( k ) X(k) X(k)与 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)的关系，最后由此关系归纳出用 X ( k ) X(k) X(k)表示 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)的方法，即用DFT对连续信号进行谱分析的方法。

时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系为： X ( e j ω ) = X ^ ( j Ω ) ∣ Ω = ω T = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X a ( j ω − 2 π k T ) X(e^{j\omega})=\hat X(j\Omega)\Big|_{\Omega=\frac{\omega}{T}}=\frac{1}{T}\sum_{k=-∞}^{∞}X_a(j\frac{\omega-2\pi k}{T}) X(ejω)=X^(jΩ)∣∣∣​Ω=Tω​​=T1​k=−∞∑∞​Xa​(jTω−2πk​) 由上式知道， x ( n ) x(n) x(n)的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)与 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)的傅里叶变换 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)满足如下关系： X ( e j ω ) = 1 T ∑ m = − ∞ ∞ X a [ j ( ω T − 2 π T m ) ] X(e^{j\omega})=\frac{1}{T}\sum_{m=-∞}^{∞}X_a\Big[j({\omega \over T}-\frac{2\pi}{T}m)\Big] X(ejω)=T1​m=−∞∑∞​Xa​[j(Tω​−T2π​m)] 将 ω = Ω T \omega=\Omega T ω=ΩT代入上式，得到： X ( e j Ω T ) = 1 T ∑ m = − ∞ ∞ X a [ j ( Ω − 2 π T m ) ] = 1 T X ~ a ( j Ω ) (3) X(e^{j\Omega T})=\frac{1}{T}\sum_{m=-∞}^{∞}X_a\Big[j(\Omega-\frac{2\pi}{T}m)\Big]=\frac{1}{T}\tilde X_a(j\Omega) \tag{3} X(ejΩT)=T1​m=−∞∑∞​Xa​[j(Ω−T2π​m)]=T1​X~a​(jΩ)(3) 式中 X ~ a ( j Ω ) = ∑ m = − ∞ ∞ X a [ j ( Ω − 2 π T m ) ] \tilde X_a(j\Omega)=\sum_{m=-∞}^{∞}X_a\Big[j(\Omega-\frac{2\pi}{T}m)\Big] X~a​(jΩ)=m=−∞∑∞​Xa​[j(Ω−T2π​m)] 表示模拟信号频谱 X a ( j Ω ) X_a(j\Omega) Xa​(jΩ)的周期延拓函数。 由 x ( n ) x(n) x(n)的N点DFT的定义有 X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] N = X ( e j ω ) ∣ ω = 2 π N k k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 (4) X(k)=DFT[x(n)]_N=X(e^{j\omega})\Big|_{\omega=\frac{2\pi}{N}k} \qquad k=0,1,\cdots,N-1 \tag{4} X(k)=DFT[x(n)]N​=X(ejω)∣∣∣​ω=N2π​k​k=0,1,⋯,N−1(4) 将（4）式代入（3）式，得到： X ( k ) = X ( e j 2 π N k ) = 1 T X ~ a ( j 2 π N T k ) = 1 T X ~ a ( j 2 π T p k ) k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 (5) X(k)=X(e^{j\frac{2\pi}{N}k})=\frac{1}{T}\tilde X_a(j\frac{2\pi}{NT}k)=\frac{1}{T}\tilde X_a(j\frac{2\pi}{T_p}k) \qquad k=0,1,\cdots,N-1 \tag{5} X(k)=X(ejN2π​k)=T1​X~a​(jNT2π​k)=T1​X~a​(jTp​2π​k)k=0,1,⋯,N−1(5) （5）式说明了 X ( k ) X(k) X(k)与 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)的关系。

为了符合一般的频谱描述习惯，以频率 f f f为自变量，整理（5）式。 令 { X a ′ ( f ) = X a ( j Ω ) ∣ Ω = 2 π f = X a ( j 2 π f ) X ~ a ′ ( f ) = X ~ a ( Ω ) ∣ Ω = 2 π f = X ~ a ( 2 π f ) \begin{cases} X'_a(f)=X_a(j \Omega)\Big|_{ \Omega=2\pi f}=X_a(j2\pi f )\\ \tilde X'_a(f)=\tilde X_a(\Omega)\Big|_{ \Omega=2\pi f}=\tilde X_a(2\pi f ) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​Xa′​(f)=Xa​(jΩ)∣∣∣​Ω=2πf​=Xa​(j2πf)X~a′​(f)=X~a​(Ω)∣∣∣​Ω=2πf​=X~a​(2πf)​ 则（5）式变为 X ( k ) = 1 T X ~ a ′ ( f ) ∣ f = k T p = 1 T X ~ a ′ ( k F ) k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 (5) X(k)=\frac{1}{T}\tilde X'_a(f)\Big|_{f=\frac{k}{T_p}}=\frac{1}{T}\tilde X'_a(kF) \qquad k=0,1,\cdots,N-1 \tag{5} X(k)=T1​X~a′​(f)∣∣∣​f=Tp​k​​=T1​X~a′​(kF)k=0,1,⋯,N−1(5) 由此可得 X ~ a ′ ( k F ) = T X ( k ) = T ⋅ D F T [ x ( n ) ] N k = 0 , 1 , ⋯   , N − 1 (6) \tilde X'_a(kF)=TX(k)=T\cdot DFT[x(n)]_N \qquad k=0,1,\cdots,N-1 \tag{6} X~a′​(kF)=TX(k)=T⋅DFT[x(n)]N​k=0,1,⋯,N−1(6) 式中，F表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率， T p = N T T_p=NT Tp​=NT为截断时间长度。 F = 1 T p = 1 N T = F s N F=\frac{1}{T_p}=\frac{1}{NT}=\frac{F_s}{N} F=Tp​1​=NT1​=NFs​​

（6）式表明可以通过对连续时间采样并进行DFT再乘以T，得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期 [ 0 , F s ] [0,F_s] [0,Fs​]上的N点等间隔采样 X ~ a ′ ( k F ) \tilde X'_a(kF) X~a′​(kF)。 如图所示，对满足假设的持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时， X ~ a ′ ( k F ) \tilde X'_a(kF) X~a′​(kF)包含了模拟信号频谱的全部信息（ k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , N / 2 k=0,1,2,\cdots,N/2 k=0,1,2,⋯,N/2，表示正频率频谱采样； k = N / 2 + 1 , N / 2 + 2 , ⋯   , N − 1 k=N/2+1,N/2+2,\cdots,N-1 k=N/2+1,N/2+2,⋯,N−1，表示负频率频谱采样）。所以上述分析方法不丢失信息，即可由 X ( k ) X(k) X(k)恢复 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)或 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)。

但直接由分析结果 X ( k ) X(k) X(k)看不到 X a ( j Ω ) X_a(jΩ) Xa​(jΩ)的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱线，这就是所谓的栅栏效应。对实信号，其频谱函数具有共轭对称性，所以分析正频率频谱就足够了。不存在频谱混叠失真时，正频率 [ 0 , F s / 2 ] [0,F_s/2] [0,Fs​/2]的频谱采样为 X ~ a ′ ( k F ) = T X ( k ) = T ⋅ D F T [ x ( n ) ] N k = 0 , 1 , ⋯   , N / 2 \tilde X'_a(kF)=TX(k)=T\cdot DFT[x(n)]_N \qquad k=0,1,\cdots,N/2 X~a′​(kF)=TX(k)=T⋅DFT[x(n)]N​k=0,1,⋯,N/2

如果 x a ( t ) x_a(t) xa​(t)持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，所以会产生所谓的截断效应，从而使谱分析产生误差。

理想低通滤波器的单位冲激响应 h a ( t ) h_a(t) ha​(t)及其频响函数 H a ( f ) H_a(f) Ha​(f)如下图：

图中 h a ( t ) = s i n [ π ( t − α ) ] π ( t − α ) α = T p 2 h_a(t)=\frac{sin[\pi(t-\alpha)]}{\pi(t-\alpha)} \qquad \alpha=\frac{T_p}{2} ha​(t)=π(t−α)sin[π(t−α)]​α=2Tp​​ 现在用DFT来分析 h a ( t ) h_a(t) ha​(t)的频率响应特性。由于 h a ( t ) h_a(t) ha​(t)的持续时间为无限长，因此要截取一段 T p T_p Tp​，假设 T p = 8 T_p=8 Tp​=8s，采样间隔 T = 0.25 T=0.25 T=0.25s（即采样频率 F s F_s Fs​=4Hz），采样点数 N = T p / T = 32 N=T_p/T=32 N=Tp​/T=32，频率采样间隔即频率分辨率 F = 1 / T p = 0.125 F=1/T_p=0.125 F=1/Tp​=0.125Hz；由于 h a ( t ) h_a(t) ha​(t)为实信号，因此仅取正频率 [ 0 , F s / 2 ] [0,F_s/2] [0,Fs​/2]频谱采样：

H ( k F ) = T ⋅ D F T [ h ( n ) ] 0 ≤ k ≤ 16 H(kF)=T\cdot DFT[h(n)] \qquad 0\leq k \leq 16 H(kF)=T⋅DFT[h(n)]0≤k≤16 其中， h ( n ) = h a ( n T ) R 32 ( n ) h(n)=h_a(nT)R_{32}(n) h(n)=ha​(nT)R32​(n)。

H ( k F ) H(kF) H(kF)如上图（c）黑点所示。由图可见，低频部分近似理想低通频响特性，而高频误差较大，且整个频响都有波动。这些误差就是由于对 h a ( t ) h_a(t) ha​(t)截断所产生的，所以通常称之为截断效应。为减少这种截断误差，可适当加长 T p T_p Tp​，增加采样点数N或用窗函数处理后再进行DFT。

在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，即谱分析范围和频率分辨率。

谱分析范围为 [ 0 , F s / 2 ] [0,F_s/2] [0,Fs​/2]，直接受采样频率 F s F_s Fs​的限制。为了不产生频谱混叠失真，通常要求信号的最高频率 f c ≤ F s / 2 f_c\leq F_s/2 fc​≤Fs​/2。频率分辨率用频率采样间隔 F F F描述， F F F表示谱分析中能够分辨的两个频率分量的最小间隔。显然， F F F越小，谱分析就越接近 X a ( j f ) X_a(jf) Xa​(jf)，所以 F F F越小，频率分辨率越高。

在已知信号的最高频率 f c f_c fc​（即谱分析范围）时，为了避免频率混叠现象，要求采样速率 F s F_s Fs​满足下式： F s > 2 f c F_s>2f_c Fs​>2fc​ 谱分辨率 F = F s / N F=F_s/N F=Fs​/N，如果保持采样点数 N N N不变，要提高频谱分辨率（减小 F F F）就必须降低采样频率，采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真。如维持 F s F_s Fs​不变，为提高频谱分辨率可以增加采样点数 N N N，因为 N T = T p NT=T_p NT=Tp​， T = 1 / F s T=1/F_s T=1/Fs​，只有增加对信号的观察时间 T p T_p Tp​，才能增加 N N N。

T p T_p Tp​和 N N N的选择： N > 2 f c F N>\frac{2f_c}{F} N>F2fc​​ T p ≥ 1 F T_p\ge \frac{1}{F} Tp​≥F1​

单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即 X ( e j w ) = X ( z ) ∣ z = e j w X(e^{jw})=X(z)\Big|_{z=e^{jw}} X(ejw)=X(z)∣∣∣​z=ejw​ X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)是 w w w的连续周期函数。如果对序列 x ( n ) x(n) x(n)进行 N N N点DFT得到 X ( k ) X(k) X(k)，则 X ( k ) X(k) X(k)是在区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上对 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)的 N N N点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔 2 π / N 2\pi/N 2π/N。因此序列的傅里叶变换可利用DFT（即FFT）来计算。

对周期为N的周期序列 x ~ ( n ) \tilde x(n) x~(n)，根据周期序列的傅里叶变换表达式知，其频谱函数为 X ( e j ω ) = F T [ x ~ ( n ) ] = 2 π N ∑ k = − ∞ ∞ X ~ ( k ) δ ( ω − 2 π N k ) X(e^{j\omega})=FT[\tilde x(n)]=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-∞}^{∞}\tilde X(k)\delta (\omega-\frac{2\pi}{N}k) X(ejω)=FT[x~(n)]=N2π​k=−∞∑∞​X~(k)δ(ω−N2π​k) 其中 X ~ ( k ) = D F S [ x ~ ( n ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ~ ( n ) e − j 2 π N k n \tilde X(k)=DFS[\tilde x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} X~(k)=DFS[x~(n)]=n=0∑N−1​x~(n)e−jN2π​kn 由于 X ~ ( k ) \tilde X(k) X~(k)以N为周期，因而 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)也是以 2 π 2\pi 2π为周期的离散谱，每个周期有N条谱线，第k条谱线位于 ω = ( 2 π / N ) k \omega=(2\pi/N)k ω=(2π/N)k处，代表 x ~ ( n ) \tilde x(n) x~(n)的k次谐波分量。而且，谱线的相对大小与 X ~ ( k ) \tilde X(k) X~(k)成正比。

由此可见，周期序列的频谱结构可用其离散傅里叶级数系数 X ~ ( k ) \tilde X(k) X~(k)表示。由DFT的隐含周期性知道，截取 x ~ ( n ) \tilde x(n) x~(n)的主值序列 x ( n ) = x ~ ( n ) R N ( n ) x(n)=\tilde x(n)R_N(n) x(n)=x~(n)RN​(n)，并进行N点DFT，得到： X ( k ) = D F T [ x ( n ) ] N = D F T [ x ~ ( n ) R N ( n ) ] = X ~ ( k ) R N ( k ) X(k)=DFT[x(n)]_N=DFT[ \tilde x(n)R_N(n) ]=\tilde X(k)R_N(k) X(k)=DFT[x(n)]N​=DFT[x~(n)RN​(n)]=X~(k)RN​(k) 所以可用 X ( k ) X(k) X(k)表示 x ~ ( n ) \tilde x(n) x~(n)的频谱结构。

  DFT（实际中用FFT计算）可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。在实际分析过程中，要对连续信号采样和截断，有些非时限数据序列也要截断，由此可能引起分析误差。

N点DFT是在频率区间 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱是看不到的。这就好像从N个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到N个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。

由于栅栏效应，有可能漏掉（挡住）大的频谱分量。为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，就必须提高频率分辨率。

（1）对有限长序列，可以在原序列尾部补零。 （2）对无限长序列，可以增大截取长度及DFT变换区间长度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。 （3）对连续信号的谱分析，只要采样率 F s F_s Fs​足够高，且采样点数满足频率分辨率要求（前述参数选择原则），就可以认为DFT后得到的离散谱的包络近似代表原信号的频谱。

实际中遇到的序列 x ( n ) x(n) x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列 y ( n ) = x ( n ) w ( n ) y(n)=x(n)w(n) y(n)=x(n)w(n)， w ( n ) w(n) w(n)称为窗函数，长度为N。 w ( n ) = R N ( n ) w(n)=R_N(n) w(n)=RN​(n)，称为矩形窗函数。

根据傅里叶变换的频域卷积原理，有 Y ( e j w ) = F T [ y ( n ) ] = 1 2 π X ( e j w ) ∗ W ( e j w ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j θ ) W ( e j ( w − θ ) )   d θ Y(e^{jw})=FT[y(n)]=\frac{1}{2\pi}X(e^{jw})*W(e^{jw})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\theta})W(e^{j(w-\theta)})\,d\theta Y(ejw)=FT[y(n)]=2π1​X(ejw)∗W(ejw)=2π1​∫−ππ​X(ejθ)W(ej(w−θ))dθ 其中 X ( e j w ) = F T [ x ( n ) ] W ( e j w ) = F T [ w ( n ) ] X(e^{jw})=FT[x(n)] \qquad W(e^{jw})=FT[w(n)] X(ejw)=FT[x(n)]W(ejw)=FT[w(n)]

对矩形窗函数 w ( n ) = R N ( n ) w(n)=R_N(n) w(n)=RN​(n)，有 W ( e j w ) = F T [ w ( n ) ] = e − j w N − 1 2 s i n ( w N / 2 ) s i n ( w / 2 ) = W g ( w ) e j φ ( w ) W(e^{jw})=FT[w(n)]=e^{-jw\frac{N-1}{2}}\frac{sin(wN/2)}{sin(w/2)}=W_g(w)e^{j\varphi(w)} W(ejw)=FT[w(n)]=e−jw2N−1​sin(w/2)sin(wN/2)​=Wg​(w)ejφ(w) W g ( w ) = s i n ( w N / 2 ) s i n ( w / 2 ) W_g(w)=\frac{sin(wN/2)}{sin(w/2)} Wg​(w)=sin(w/2)sin(wN/2)​ 例如， x ( n ) = c o s ( π 4 n ) x(n)=cos(\frac{\pi}{4}n) x(n)=cos(4π​n)，其频谱为 X ( e j w ) = π ∑ l = − ∞ ∞ [ δ ( w − π 4 − 2 π l ) + δ ( w + π 4 − 2 π l ) ] X(e^{jw})=\pi \sum_{l=-∞}^{∞}\Big[\delta(w-\frac{\pi}{4}-2\pi l) +\delta(w+\frac{\pi}{4}-2\pi l) \Big] X(ejw)=πl=−∞∑∞​[δ(w−4π​−2πl)+δ(w+4π​−2πl)] 将 x ( n ) x(n) x(n)截断后， y ( n ) = x ( n ) R N ( n ) y(n)=x(n)R_N(n) y(n)=x(n)RN​(n)的频谱为在 δ \delta δ谱线处 W g ( w ) W_g(w) Wg​(w)图像的展宽。

由此可见，截断后序列的频谱 Y ( e j w ) Y(e^{jw}) Y(ejw)与原序列 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)必然有差别，这种差别对谱分析的影响主要表现在如下两个方面：

原来序列 x ( n ) x(n) x(n)的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通常称这种展宽为泄露。显然，泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低。

从上图中可以看出，频谱泄露程度与窗函数幅度谱的主瓣宽度直接相关，而在所有的窗函数中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。所以，在窗函数长度N相同时，用矩形窗截取，产生的泄露最小。

在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰（简称谱间干扰），特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误以为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。由于矩形窗的旁瓣最大，所以，用矩形窗截取时，产生的谱间干扰最大。

  由于泄露和谱间干扰是由信号截断引起的，因此称之为截断效应。矩形窗 ∣ ω ∣ < 2 π N |\omega|