形如: x 2 − N y 2 = 1 ( n ∈ Z , n ≠ 0 ) x^2-Ny^2=1(n\in \mathbb{Z},n\not= 0) x2−Ny2=1(n∈Z,n​=0) 且N为奇非平方数

可以用平方差公式改写为： ( x + N y ) ( x − N y ) = 1 (x+\sqrt{N}y)(x-\sqrt{N}y)=1 (x+N ​y)(x−N ​y)=1

先了解一个定义和一个定理

设 r , s 为 整 数 ， 并 且 满 足 r 2 − N s 2 = T ( 其 中 N 为 非 平 方 数 ) , 则 称 α = r − s N 给 出 x 2 − N y 2 = T 的 解 设r,s为整数，并且满足r^2-Ns^2=T(其中N为非平方数),则称\alpha = r-s\sqrt N给出x^2-Ny^2 =T的解 设r,s为整数，并且满足r2−Ns2=T(其中N为非平方数),则称α=r−sN ​给出x2−Ny2=T的解

设 α = x 1 − y 1 N , β = x 2 − y 2 N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 的 解 ， 则 α β = A − B N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 = T 2 的 解 . 其 中 A = x 1 x 2 + N y 1 y 2 , B = x 1 y 2 + x 2 y 1 设\alpha=x_1-y_1\sqrt N,\beta=x_2-y_2\sqrt N给出方程x^2-Ny^2的解，则\alpha\beta=A-B\sqrt N给出方程x^2-Ny^2=T^2的解.其中A=x_1x_2+Ny_1y_2,B=x_1y_2+x_2y_1 设α=x1​−y1​N ​,β=x2​−y2​N ​给出方程x2−Ny2的解，则αβ=A−BN ​给出方程x2−Ny2=T2的解.其中A=x1​x2​+Ny1​y2​,B=x1​y2​+x2​y1​

(论文中比较跳跃，直接看的话可能要看一会，所以自己手推了一遍，有助于记忆)

则可以推广到：

若 α = x 1 − y 1 N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 = T 的 解 若\alpha=x_1-y_1\sqrt N给出方程x^2-Ny^2 =T的解 若α=x1​−y1​N ​给出方程x2−Ny2=T的解

则：

α n = x n − y n N 给 出 方 程 x 2 − N y 2 = T n 的 解 \alpha^n=x_n-y_n\sqrt N给出方程x^2-Ny^2 =T^n的解 αn=xn​−yn​N ​给出方程x2−Ny2=Tn的解

举个例子：

解 方 程 x 2 − 10 y 2 = 1 解方程x^2-10y^2=1 解方程x2−10y2=1

很明显，3x3与10相差-1，根据推论可得

α = 3 − 10 给 出 了 x 2 − 10 y 2 = − 1 的 解 ， 则 根 据 α n 这 一 条 性 质 ， n = 2 即 可 得 出 , α 2 = ( 3 − 10 ) 2 = 19 − 6 10 给 出 了 方 程 x 2 − 10 y 2 = 1 的 解 \alpha=3-\sqrt {10}给出了x^2-10y^2=-1的解，则根据\alpha^n这一条性质，n=2即可得出,\alpha^2={(3-\sqrt{10})}^2=19-6\sqrt{10}给出了方程x^2-10y^2=1的解 α=3−10 ​给出了x2−10y2=−1的解，则根据αn这一条性质，n=2即可得出,α2=(3−10 ​)2=19−610 ​给出了方程x2−10y2=1的解

参考文章：https://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/53145994