实序列 :

复序列 :

对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;

对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;

任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和来表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

已知 : 任意序列可以由其 共轭对称序列 与 共轭反对称序列 之和表示 ,

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n )      ① x(n) = x_e(n) + x_o(n) \ \ \ \ ① x(n)=xe​(n)+xo​(n)    ①

x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭对称序列是 x ∗ ( − n ) x^*(-n) x∗(−n) , 记做 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) ;

x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭反对称序列是 − x ∗ ( − n ) -x^*(-n) −x∗(−n) , 记做 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) ;

将 ① 公式的 两边取 共轭 , 使用 − n -n −n 代替 n n n , 得到 :

x ∗ ( n ) = x e ∗ ( − n ) + x o ∗ ( − n )      ② x^*(n) = x_e^*(-n) + x_o^*(-n)\ \ \ \ ② x∗(n)=xe∗​(−n)+xo∗​(−n)    ②

根据共轭对称性质 x ( n ) = x ∗ ( − n ) x(n) = x^*(-n) x(n)=x∗(−n) , 可知 x e ∗ ( − n ) = x e ( n )      ③ x_e^*(-n) = x_e(n) \ \ \ \ ③ xe∗​(−n)=xe​(n)    ③ ;

根据共轭反对称性质 x ( n ) = − x ∗ ( − n ) x(n) = -x^*(-n) x(n)=−x∗(−n) , 可得到 − x o ∗ ( − n ) = x o ( n ) -x_o^*(-n) = x_o(n) −xo∗​(−n)=xo​(n) , 将负号移到等式右边 可得 x o ∗ ( − n ) = − x o ( n )      ④ x_o^*(-n) = -x_o(n) \ \ \ \ ④ xo∗​(−n)=−xo​(n)    ④ ;

将 ③ 和 ④ 带入到 ② 中 , 得到 :

x ∗ ( n ) = x e ( n ) − x o ( n )      ⑤ x^*(n) = x_e(n) - x_o(n) \ \ \ \ ⑤ x∗(n)=xe​(n)−xo​(n)    ⑤

① 和 ⑤ 公式相加 , x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 项抵消了 , 可得到

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

① 和 ⑤ 公式相减 , x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 项抵消了 , 可得到

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

任意一个序列 , 都存在 共轭对称序列 与 共轭反对称序列 ,

共轭对称序列 与 原序列 的关系 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 与 原序列 的关系 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]