1.2简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

课标阐释

1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(数学抽象)

2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.(逻辑推理)

3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算.(数学运算、几何直观)

思维脉络

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知识点拨

埃及金字塔始建于公元前2600年以前,共有七十多座.最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔.其中,又以胡夫金字塔为最,是“世界七大奇迹”之一,现高136米,塔身是用230万块巨石堆砌而成,底面是一个近似的正方形,相当于一座四十多层的摩天大厦.关于金字塔,至今还有诸多未解之谜.现在把胡夫金字塔的外形轮廓抽象成几何体,同学们知道它是多面体中哪一类吗?如何命名和定义该几何体?

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知识点拨

一、棱柱

1.棱柱的定义、相关概念、分类、图形及表示

棱柱

图形及表示

定义

每个多面体都有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面都平行,其余各面是由平行四边形围成的.像这样,有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,由这些面围成的几何体称为棱柱

用表示底面各顶点的字母表示

如图棱柱可记作:

棱柱ABCDE-ABCDE,也可表示为棱柱AC1

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知识点拨

棱柱

图形及表示

相关

概念

底面(底):两个互相平行的面

侧面:其余各面,都是平行四边形

侧棱:相邻侧面的公共边

顶点:侧面与底面的公共顶点

分类

①依据:底面多边形的边数

②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……

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知识点拨

2.棱柱的相关性质

(1)侧棱都相等;

(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形;

(3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.

名师点析(1)棱柱的分类

(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系

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知识点拨

微练习1

下列说法正确的是()

A.四棱柱是平行六面体

B.直平行六面体是长方体

C.长方体的六个面都是矩形

D.底面是矩形的四棱柱是长方体

解析底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;由长方体特征知选项C正确.

答案C

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微练习2

棱柱的侧棱()

A.相交于一点

B.平行但不相等

C.平行且相等

D.可能平行也可能相交于一点

答案C

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微练习3

如图所示的几何体是()

A.五棱锥

B.五棱台

C.五棱柱

D.五面体

答案C

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知识点拨

二、棱锥

1.棱锥的定义、相关概念、分类、图形及表示.

棱锥

图形及表示

定义

有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫作棱锥

用表示顶点和底面各顶点的字母表示

如图棱锥可记作:棱锥S-ABCDEF,也可表示为棱锥S-AD

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知识点拨

棱锥

图形及表示

相关

概念

底面(底):多边形面.侧面:有公共顶点的各个三角形面.侧棱:相邻两个侧面的公共边.顶点:各个侧面的公共点.高:顶点到底面的距离

分类

①依据:底面多边形的边数.②举例:三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……

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知识点拨

2.正棱锥:底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,侧面都是全等的等腰三角形,这样等腰三角形底边的高都相等,称为正棱锥的斜高.

名师点析1.棱锥的侧面均是三角形,但每个面

均是三角形的几何体不一定是棱锥.如图所示,

正八面体就不是棱锥.

2.正棱锥的性质

(1)各侧棱相等,底面是正多边形;

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形,棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形.

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知识点拨

微练习1

在如图所示的长方体中,由OA,OB,OD和OC所构成的几何体是()

A.三棱锥

B.四棱锥

C.三棱柱

D.四棱柱

答案B

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知识点拨

微练习2

下面图形中,为棱锥的是()

A.①③

B.①③④

C.①②④

D.①②

解析根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.故选C.

答案C

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知识点拨

三、棱台

1.棱台的定义、相关概念、分类、图形及表示.

棱台

图形及表示

定义

用一个平行于底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台

用表示底面各顶点的字母表示

如图棱台可记作:棱台ABC-ABC,也可表示棱台AC

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知识点拨

棱台

图形及表示

相关

概念

上底面:原棱锥的截面

下底面:原棱锥的底面

侧面:其余各面

侧棱:相邻两个侧面的公共边

高:上底面、下底面之间的距离