线性方程组矩阵解法 |
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线性方程组矩阵解法
看这网页前,请先了解线性方程组 和 矩阵. 例子在线性方程组网页上的一个例子是: 例子:解 x + y + z = 6 2y + 5z = -4 2x + 5y - z = 27我们在那个网页用"消元法"去解……但我们也可以用矩阵! 用矩阵来解其实比较容易,因为我们可以用电脑程序(例如 矩阵计算器)来做所有"繁复的运算". 当然,我们首先需要把题写成矩阵形式。 矩阵形式?矩阵是数的排列,对不对? 矩阵 看看以下的方程式: x + y + z = 6 2y + 5z = -4 2x + 5y - z = 27这组方程式可以写成一排列的数: 1 1 1 = 6 0 2 5 = -4 2 5 -1 = 27再进一步,我们可以把在 "=" 两边的数分开: 1 1 1 6 0 2 5 和 -4 2 5 -1 27现在看上去好像两个矩阵。 其实还有一个矩阵,就是 [x y z]。基于矩阵乘法(见 矩阵乘法),我们应该这样写: 我们知道 x + y + z = 6 等等资料,所以方程组可以写成: 酷! 矩阵解法把这三个矩阵称为 "A", "X" 和 "B",方程组便是: AX = B 其中: A 是 x,y 和 z 的系数的 3x3 的矩阵 X 是 x,y 和 z, B 是 6,-4 和 27答案(参见 逆矩阵)的公式是: X = A-1B 这个公式的意思是:x、y 和 z 的值(X 矩阵)等于A 矩阵的逆乘以B 矩阵。 现在我们用这个来解方程组. 首先要求A 矩阵的逆(假设它存在!) 用矩阵计算器,结果是: (我把 1/行列式 放在矩阵外面,这样矩阵里面的数便可以简单点) 然后把A-1 乘以 B (也是用矩阵计算器): 做好了!解是: x = 5、y = 3 和 z = -2 和在 线性方程组 网页里算出来的一样。 这是个干净利落和优雅的解法,并且:人来想,电脑来做。 好玩吗?……再来一遍! 这次把矩阵 "X" 放在前面。 很多人以为上面的做法是唯一的做法,但其实也可以按照以下的方法来做。 这样: XA = B 因为矩阵特别的乘法,我们要用另一个形式来写下矩阵。我们需要把行和列对调("转置"): XA = B 像这样: 矩阵解法答案是(也参见逆矩阵): X = BA-1 A-1是:
和上面的逆矩阵差不多,但是转置(行与列对调)了。 接下来把 B 乘以 A-1:: 答案和上面的一样: x = 5、y = 3 和 z = -2 这方法没有那么整齐,但仍然算出了正确的答案。矩阵方程通常可以用不同的方法来解,但我们要小心不要把行和列弄错! 线性方程组 代数索引 |
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