在求积分的过程中，我们经常使用微积分里的分布积分法，但对于一些复杂的函数，需要运用多次分布积分，比如你可能见过这样的， 处理起来很是头疼，然而用表格法就能起到这样的效果 下面说明一下如何使用这种方法 对积分 ∫ v u   d x \int vu\,dx ∫vudx 列成表格 第一行表示求导，第二行求原函数。 表中内容可分为三部分，连线的地方将他们相乘 图中红色地方表示正 比如 v ∫ u   d x , v ′ ′ ∫ ∫ ∫ u   d x v\int u\,dx,v''\int\int\int u\,dx v∫udx,v′′∫∫∫udx 图中黑色地方表示负 比如 − v ′ ∫ ∫ u   d x -v'\int\int u\,dx −v′∫∫udx 绿色地方表示 ( − 1 ) n ∫ ( v n ( ∫ ) n u ) d x (-1)^n\int (v^n(\int)^nu)dx (−1)n∫(vn(∫)nu)dx 注意：这里的n表示求导或积分的总次数 最后把这三部分加起来即可，不理解的话请看下面这个例子

求 C n = 2 l ∫ 0 l x ( l − x ) s i n n π x l d x Cn =\frac{2}{l}\int_0^l x(l-x)sin\frac{nπx}{l}dx Cn=l2​∫0l​x(l−x)sinlnπx​dx 正常计算： 表格法：

C n = [ x ( l − x ) ( − 2 n π c o s n π x l ) − ( l − 2 x ) ( − 2 l n 2 π 2 s i n n π x l ) ] ∣ l 0 ∣ + Cn=\left[x(l-x)(-\frac{2}{nπ}cos\frac{nπx}{l})\right.\\-(l-2x)(-\frac{2l}{n^2π^2}sin\frac{nπx}{l})]\begin{vmatrix} l \\ 0\end{vmatrix}+ Cn=[x(l−x)(−nπ2​coslnπx​)−(l−2x)(−n2π22l​sinlnπx​)]∣∣∣∣​l0​∣∣∣∣​+ ( − 1 ) 2 ∫ 0 l ( − 2 ) − 2 l n 2 π 2 s i n n π x l d x (-1)^2\int_0^l(-2) \frac{-2l}{n^2π^2}sin\frac{nπx}{l}dx (−1)2∫0l​(−2)n2π2−2l​sinlnπx​dx = 0 − 4 l 2 n 3 π 3 c o s n π x l ∣ l 0 ∣ =0-\frac{4l^2}{n^3π^3}cos\frac{nπx}{l}\begin{vmatrix} l \\ 0\end{vmatrix} =0−n3π34l2​coslnπx​∣∣∣∣​l0​∣∣∣∣​ = 4 l 2 n 3 π 3 ( 1 − c o s n π ) =\frac{4l^2}{n^3π^3}(1-cosnπ) =n3π34l2​(1−cosnπ)

如果还不太懂可以看一下文章开头的那个例子，自己算一下

运用表格法只需进行对被积函数进行求导积分运算，一步得结果，大大减少了出错率。