这一章 的题目是二元关系与函数。如何理解？ 函数，是x 到y 的映射，这种映射反应的就是一种关系（涉及到了x、y两个变量，所以是二元关系），因为定义域x 是一个集合、值域y 也是一个集合所以函数就是一个 有序对的集合！

所以函数即是数对的集合！

函数的最基本定义不再是一种“对应规则”，而是集合。 有了函数的定义，我们就可以用 关系 来定义函数的复合、反函数 等概念。

此外，我们常常讲关系数据库，一个关系实际对应到一张关系数据表，作为数据库操作的数学基础，关系中不同的运算可映射到数据库中的不同操作。

定义： 由两个客体 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作

实例：点的直角坐标(3,-4)

性质:   有序性  （当xy时） 

例1  = ，求 x, y.

解     3y- 4 = 2, x+5 = y   y = 2, x = - 3  

定义   设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AXB， 即       A X B ={ | xA   yB }

例2  A={1,2,3}, B={a,b,c}

 AXB ={,,,,,, ,,}

 BXA ={,,,,,, , ,}

定义 如果一个集合满足以下条件之一, 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.

（1）集合非空, 且它的元素都是有序对

（2）集合是空集

如∈R, 可记作 xRy； 

实例：R={,}, S={,a,b}.

R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系

定义 设A,B为集合,  A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系,

当A=B时则叫做 A上的二元关系.

例4  A={0,1}, B={1,2,3},  R1={},  R2=A×B,  R3={}. 那么 R1, R2, R3 是从 A 到 B

的二元关系, R3 也是 A上的二元关系.

计数：|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有 个. 所以 A上有 个不同的二元关系.

例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系.

空关系：设 A 为任意集合，是 A 上的关系，称为空关系.

全域关系:  ={|x∈A∧y∈A}=A×A恒等关系:  ={|x∈A}

 小于等于关系: 

 整除关系:  

包含关系:例如, A={1,2}, 则  EA={,,,}  IA={,}

关系的表示方式有三种：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图。

注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系。