中国大学生数学竞赛竞赛大纲(2009年首届全国大学生数学竞赛)

为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。1.  竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。1.  竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分1.  集合与函数2.  1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.3.  2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.4.  3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.5.  极限与连续6.  1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.7.  2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.8.  3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.9.  4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.10.  一元函数微分学11.  1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.12.  2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).13.  3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.14.  多元函数微分学15.  1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.16.  2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.17.  3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.18.  4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.19.  一元函数积分学20.  1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.21.  2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.22.  3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.23.  4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.24.  5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.25.  多元函数积分学26.  1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.27.  2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.28.  3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.29.  4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.30.  5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.31.  6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.32.  7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.33.  无穷级数34.  1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.1.  函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.1.  幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.1.  Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分1.  多项式2.  1. 数域与一元多项式的概念3.  2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法4.  3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.5.  4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.6.  5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.7.  6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.8.  7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.9.  行列式10.  1. n级行列式的定义.11.  2. n级行列式的性质.12.  3. 行列式的计算.13.  4. 行列式按一行（列）展开.14.  5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.15.  6. 克拉默(Cramer)法则.16.  线性方程组17.  1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.18.  2. n维向量的运算与向量组.19.  3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.20.  4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.21.  5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.22.  6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.23.  7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数24.  矩阵25.  1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.26.  2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.27.  3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.28.  4. 分块矩阵及其运算与性质.29.  5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.30.  6. 分块初等矩阵、分块初等变换.31.  双线性函数与二次型32.  1. 双线性函数、对偶空间33.  2. 二次型及其矩阵表示.34.  3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.35.  4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.36.  5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵37.  线性空间38.  1.线性空间的定义与简单性质.39.  2. 维数，基与坐标.40.  3. 基变换与坐标变换.41.  4. 线性子空间.42.  5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.43.  线性变换44.  1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.45.  2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.46.  3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.47.  4. 线性变换的值域与核、不变子空间.48.  若当标准形49.  1.矩阵.50.  2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.51.  3. 若当标准形.52.  欧氏空间53.  1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.54.  2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.55.  3. 欧氏空间的同构.56.  4. 正交变换、子空间的正交补.57.  5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.58.  6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.59.  7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分1.  向量与坐标2.  1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.3.  2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.4.  3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.5.  4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.6.  5. 应用向量求解一些几何、三角问题.7.  轨迹与方程8.  1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.9.  2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.10.  3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.11.  4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.12.  平面与空间直线13.  1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.14.  2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.15.  3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.16.  4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.17.  二次曲面18.  1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.19.  2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.20.  3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.21.  4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.22.  二次曲线的一般理论23.  1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.24.  2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.25.  3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.26.  4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.27.  5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：1.  函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).1.  一元函数微分学2.  1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.3.  2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.4.  3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.5.  4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.6.  5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.7.  6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.8.  7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.9.  8. 函数最大值和最小值及其简单应用.10.  9. 弧微分、曲率、曲率半径.11.  一元函数积分学12.  1. 原函数和不定积分的概念.13.  2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.14.  3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.15.  4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.16.  5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.17.  6. 广义积分.18.  7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.  常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.  变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.  可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程： .4.  线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.  二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.  简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.  欧拉(Euler)方程.8.  微分方程的简单应用9.  五、向量代数和空间解析几何10.  向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.11.  两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.12.  向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.13.  曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.14.  平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.15.  球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.16.  空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.17.  六、多元函数微分学18.  多元函数的概念、二元函数的几何意义.19.  二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.20.  多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.21.  多元复合函数、隐函数的求导法.22.  二阶偏导数、方向导数和梯度.23.  空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.24.  二元函数的二阶泰勒公式.25.  多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.26.  七、多元函数积分学27.  二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).28.  两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.29.  格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.30.  两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.31.  高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.32.  重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)33.  八、无穷级数34.  常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.35.  几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.36.  任意项级数的绝对收敛与条件收敛.37.  函数项级数的收敛域与和函数的概念.38.  幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.39.  幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.40.  初等函数的幂级数展开式.41.  函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数