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第一章集合与常用逻辑用语1.4.2充要条件教学设计一、教学目标1.理解充要条件的意义，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.结合具体命题掌握命题的条件的充要性的判定及证明方法，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3.能根据给出的充要条件求相关的参数的值或范围.二、教学重难点1.教学重点充分理解充要条件的概念.2.教学难点命题条件的充要性判断.三、教学过程（一）新课导入上节课我们学习了命题的充分条件和必要条件，在学习充要条件之前先复习一下上节课所学的内容，“如果p可以推出q，那p是什么条件，q又是什么条件？”老师引导学生回答.接下来我们看一道题：已知p:x2-x-6=0；q:x=3或x=-2.请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？解答这道题前，我们先来回想一下“若p，则q”是哪种命题形式？“若q，则p”是哪种命题形式？老师引导学生发言，并总结（“若p，则q”为原命题，“若q，则p”为原命题的逆命题）.（二）探索新知思考请判断下列“若p，则q”形式的命题的真假，写出它们的逆命题并判断逆命题的真假.（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等.（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等.（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac﹤0.（4）若AUB是空集，则A与B均是空集.我们写出逆命题之后，不难发现，上述命题中命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命題（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.思考：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件吗？老师给出定义：如果“若p，则q”是真命题,则记作qp.如果它的逆命题“若q，则p”是真命题，则记作pq.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.记作pq.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.如果pq，那么p与q互为充要条件.探究一:下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0（a0）.解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（也可能是菱形），所以qp，所以p不是q的充要条件.（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即pq，所以p是q的充要条件.（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立（因为xy>0时，也可能x﹤0，y﹤0），所以pq，所以p不是q的充要条件.（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即pq，所以p是q的充要条件.探究二：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？(1)两组对边分别平行；(2)两组对角分别相等；(3)两组对边分别相等；(4)一组对边平行且相等；(5)对角线互相平分.上面这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，由此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如：一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式（SSS、SAS、AAS、ASA、HL），这些定义相互等价，等等.（三）课堂练习1.已知,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析：等价于解得，所以p是q的充要条件2.设集合，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：A解析：当a=1时，N={1}，此时有，则条件具有充x分性；当时，有a2=1或a2=2，得到a1=1，a2=﹣1，a3=，a4=﹣，故不具有必要性，所以“a=1”是“”的充分不必要条件.故选A.3.已知,“”是“”的________条件.答案：充要解析：当时,,所以由能推出,当时,若时,成立,若时,式子没有意义,若时,,所以有.因此由能推出.“”是“”的充要条件.故答案为：充要4.设为全集,是集合,则“存在集合使得,?UC”是“”的(?)A.充分而不必要的条件???????????????B.必要而不充分的条件C.充要条件????????????????????D.既不充分也不必要的条件答案：C解析：结合Venn图判断是否成立;再反过来判断是否成立,最后下结论.若存在集合使得A?C,B??UC,则可以推出A∩B=?;若A∩B=?,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A?C,B??UC.故“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件.（四）小结作业小结：1.本节课我们主要学习了哪些内容？2.充要条件的定义；3.命题条件的充要性的判定及证明方法；四、板书设计1.充要条件的定义2.充要条件的证明.p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充要条件.

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