【零基础】看懂理解傅里叶变换后的频谱图 |
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首先安利一个网站,在线做傅里叶变换,不用等MATLAB漫长的启动了 https://sci2fig.herokuapp.com/fourier 文章中部分图片来自 https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/82387854 理论部分参考了: https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/fourier.htm https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images 零基础也能理解傅里叶变换后的频谱图 频谱图类比 图像的傅里叶变换原理位置信息图像高频低频含义 对图像的操作所造成的影响具体公式和理论应用常见的傅里叶变换结果练习题解答 频谱图声音的频谱图很好理解,尖峰代表着该频率有着更多的分量 但是图像的傅里叶变换抽象的多,下面讲讲述如何看懂傅里叶图。 类比将图像视为变化的函数,不过不是随时间变化,而是跨图像的二维空间变化。 在灰度数字图像中,每个像素的值在0到255之间,代表该像素的暗度。因此,该像素的暗度或强度是水平坐标和垂直坐标的函数,给出了该像素的位置。您可以将图像视为起伏的景观,而高度由像素值确定。
二维正弦波写为 z = s i n ( h x + k y ) z =sin(hx + ky) z=sin(hx+ky) 其中x和y给出“图纸”上各点的坐标,z是该点处波浪的高度或强度,a给出波浪的振幅(最大高度),h和k给出数字波分别在x和y方向重复的次数(它们是 x和y频率)。 当k = 0时,正弦波仅沿x轴波动。当h = 0时,它仅沿y轴波动。但是,如果k 和h都不为零,则正弦波在片材上对角移动,并且波的传播方向(垂直于波阵面)与斜率h / k成一定角度 。 图像的傅里叶变换原理图像的傅立叶变换将图像(起伏的地形)分解为正弦波的总和。就像声波一样,对频率绘制傅立叶变换。但是与那种情况不同,频率空间具有二维,对于x和y维 中的波的频率 h和k。因此,它不是以一系列尖峰的形式绘制的,而是以与原始图像(大约)相同的像素尺寸绘制的图像。 位置信息傅立叶变换中的每个像素都有一个坐标(h,k)表示在傅立叶变换中具有x频率h和 y频率k的正弦波的贡献。 中心点表示(0,0)波–没有波纹的平面–其强度(灰度颜色的亮度)是图像中像素的平均值。中心左侧和右侧的点代表沿x轴变化的正弦波,即k = 0)。这些点的亮度表示傅立叶变换中具有该频率的正弦波的强度(强度是正弦波的振幅的平方)。在中心点上下垂直的那些代表那些在y中变化但在x中保持恒定(即h = 0)的正弦波。傅立叶变换中的其他点表示对角波的贡献。![]() ![]() 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度。 简短概括: 图像的高频,意味着灰度变化剧烈图像的低频,意味着灰度变化平坦不同频率信息在图像结构中有不同的作用: 图像的主要成分是低频信息,它形成了图像的基本灰度等级,对图像结构的决定作用较小;中频信息决定了图像的基本结构,形成了图像的主要边缘结构;高频信息形成了图像的边缘和细节,是在中频信息上对图像内容的进一步强化。图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。 傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际是上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。 对图像的操作所造成的影响在二维傅里叶变换中,空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上,而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向,反之亦然。说明见下图。 参考:https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/fourier.htm 由于我们只关注数字图像,因此我们将讨论仅限于离散傅立叶变换(DFT)。 DFT是采样的傅立叶变换,因此不包含构成图像的所有频率,而仅包含足够大以完全描述空间域图像的一组采样。频率的数量对应于空间域图像中的像素数量,即,空间域和傅立叶域中的图像具有相同的大小。 对于大小为N×N的正方形图像,二维DFT由下式给出: 基本函数是频率增加的正弦和余弦波,即 F(0,0)表示图像的DC分量,该分量对应于平均亮度,F(N-1,N-1)表示最高频率。 以类似的方式,可以将傅立叶图像重新变换到空间域。傅里叶逆变换由下式给出: 【这里不太会翻译,看图吧】 不同频率的正弦波: 判断上面两张傅里叶变换频谱图和下面两张原始图像如何对应? 右下角的图片灰度变化更剧烈,由于图像的频率是灰度的梯度,且傅里叶变换后高频特征位于边缘,因此对应着亮点分布在更边缘地区的左上图: |
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