周期信号的博里叶级数表示(连续时间) |
您所在的位置:网站首页 › 傅里叶级数a0和an › 周期信号的博里叶级数表示(连续时间) |
注:本博客是基于奥本海姆的《信号与系统》第二版编写,主要是为了自己考研,准备专业课。 转载于:(https://blog.csdn.net/Explorer_day/article/details/80078287) 一、线性时不变系统对复指数信号的响应 前言: 1、在研究线性时不变系统时,将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的,但这些基本信号应该具有以下两个性质: 1)由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号; 2)线性时不变系统对每一个基本信号的响应都是十分简单的,以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式; 博里叶分析的很多重要价值都来自这一点,即连续和离散时间复数信号集都具有以上两个性质,即连续时间的est和离散时间的zn信号,其中s和z都是复数。 2、在研究线性时不变系统时,复指数信号的重要性在于这样一个事实:即一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号,不同的只是在幅度上的变化; 其中H(s)或H(s)是一个复振幅因子,一般来说是复变量s或z的函数。 3、一个信号,若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是复数)乘以输入,则称该信号为系统的特征函数,幅度因子H(s/z)称为系统的特征值。 4、复指数是连续时间线性时不变系统的特征函数,复指数序列也是离散时间线性时不变系统的特征函数。 5、将信号表示成复指数的线性组合,就会导致一个线性时不变系统响应的方便表达式; 推导: ② 对于离散时间线性时不变系统的输入表示成复指数和线性组合,即 那么输出一定是 二、连续时间周期信号的博里叶级数表示 一)成谐波关系的复指数信号的线性组合 1、周期复指数信号 一个周期信号表示成上式,就称为傅里叶级数表示 2、博里叶级数的另外两种表示 二)连续时间周期信号博里叶级数表示的确定 1、傅里叶级数中系数的推导过程 见教材P119 2、如果x(t)有一个傅里叶级数表示式,即x(t)能表示成一组成谐波关系的复指数信号的线性组合,那么傅里叶级数中的系数就可由下式确定 其中分别给出了基波频率w0和基波周期T表示的傅里叶级数的等效表示式。 【式(3.38)称为综合公式,式(3.39)称为分析公式,系数{ak}称为x(t)的傅里叶级数或频谱系数。】 这些复指数系数是对信号x(t)中的每一个谐波分量大小的度量。 系数a0就是x(t)中的直流或常数分量,由式(3.39)以k=0带入可得 三、傅里叶级数的收敛 1、大部分周期性信号不存在任何收敛上的困难。 2、平方可积条件: 3、狄里赫利条件: 1)条件1:在任何周期内,x(t)必须绝对可积,即 反例:(a) 2)条件2:在任意区间内,x(t)具有有限个起伏变化;也就是说,在任何单个周期内,x(t)的最大值和最小值的数目有限。【即有限个极值点】 反例:(b) 3、对于一个不存在任何间断点的周期信号而言,傅里叶级数收敛,并且在每一点上该级数都等于原来的信号x(t)。对于在一个周期内存在有限数目不连续点的周期信号而言,除去那些不连续点外,其余所有点上傅里叶级数都等于原来的x(t);而在那些孤立的不连续点上,傅里叶级数收敛于不连续点处的值的平均值。 4、吉伯斯现象 一个不连续信号x(t)的博里叶级数的截断近似xN(t),一般来说,在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。而且,若在实际情况下利用这样一个近似式,就应该选择足够大的N,以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。 四、连续时间博里叶级数性质 假设x(t)是一个周期信号,周期为T,即波频率w0=2π/T。那么,若x(t)的傅里叶级数系数记为ak,则用 1)线性性质 令x(t)和y(t)为两个周期信号,周期为T,它们的傅里叶系数分别为ak和bk,即 2)时移性质 若 3)时间反转 若 换句话说,施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的时间反转。时间反转的一种结果是:若x(t)为偶函数,则其傅里叶级数系数叶为偶,即a-k=ak,若为奇函数,则其傅里叶级数系数也为奇,即a-k=-ak。 4)时域尺度变换 若x(t)具有下式的表示 就是x(αt)的傅里叶级数表示。要强调的是,虽然傅里叶系数没有改变,但由于基波频率变化了,傅里叶级数表示却改变了。 5)相乘 若 将一个周期信号x(t)取它的复数共轭,在它的傅里叶级数系数上就会有复数共轭并进行时间反转的结果,即若 7)连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理是 8)连续时间博里叶级数性质列表 典型例题: 例题一: 例题二: 例题三: 例题五: |
今日新闻 |
推荐新闻 |
CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |