常见波形的傅里叶级数展开式 |
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引言
近来,在开展课题时遇到了需要将梯形波进行傅里叶级数展开的问题,查询了一些资料(惭愧,一开始就没想着自己动手积分),然后没有找到自己想要的结果(其实有相近的,只不过不是任意周期的,当时没有转变过来),最后还是动手算出来了,在这里做一个小小的记录,算是回顾以前的知识吧,捂脸。 由于像三角波,矩形波,梯形波这种波形不连续,因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以,在这种情况下,利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形,可以很好的优化模型。 预备知识 1. 公式给定一个周期为 的函数 ,那么它可以表示为无穷级数: 其中傅里叶系数为: 2. 性质 收敛性在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下: 在定义区间上,需绝对可积; 在任一有限区间中,只能取有限个极值点; 在任何有限区间上,只能有有限个第一类间断点。满足上述条件的傅里叶级数都收敛,且: 当是的连续点时,级数收敛于 当是的间断点时,级数收敛于 正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧式空间中,互相垂直的向量之间是正交的。三角函数族的正交性用公式表示出来就是: 奇偶性奇函数可以表示为正弦级数,而偶函数则可以表示成余弦级数: 几种常见波形的傅里叶级数展开式 1. 梯形波(奇函数) 梯形波如上图所示,该梯形波是一个周期为T的奇函数,幅值为,上升沿时间为,在区间的函数表达式为: 由奇偶性可知,该波形在区间的傅里叶级数展开式为: 其中傅里叶系数为: 将函数代入傅里叶系数表达式中,可得: 由 可得: 综上所述,可以得到该梯形波在区间的傅里叶级数展开式为: 其中: 2. 脉冲波(偶函数) 脉冲波如上图所示,该脉冲波是一个周期为T的偶函数,幅值为,脉冲宽度为,在区间的函数表达式为: 由奇偶性可知,该波形在区间的傅里叶级数展开式为: 其中傅里叶系数为: 将函数代入傅里叶系数表达式中,可得: 因此,可以得到该梯形波在区间的傅里叶级数展开式为: 其中: 3. 方波(奇函数) 方波同理,该方波在区间的傅里叶级数展开式为: 其中: 4. 三角波(奇函数) 三角波同理,该三角波在区间的傅里叶级数展开式为: 5. 锯齿波(非奇非偶函数) 锯齿波该锯齿波如上图所示,在区间的函数表达式为: 由于该函数为非奇非偶函数,因此,该波形在区间的傅里叶级数展开式为: 其中傅里叶系数为: 将函数代入傅里叶系数表达式中,可得: 因此,可以得到该锯齿波在区间的傅里叶级数展开式为: 结语这里仅仅列出了极小部分的波形的傅里叶级数展开式,对于其它波形,类似代入计算即可,给出公式之后,更多的是考验数学积分计算了。 参考文献[1] 维基百科编者. 傅里叶级数 [2] 百度百科编者. 傅里叶级数 [3] Fourier Series Examples |
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