最近了解到傅里叶变换，学习了顾樵的数理方法，把思路理一下，随便记录下来，特别注明了使用的条件，省去了它们的性质，只进行简单的推导。其中有不严谨和不正确的地方，还望网友指正。

1.傅里叶级数的定义，描述

任一以 2\pi 为周期的函数，可以用傅里叶级数表示为：

f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)] \tag{1.1}

n 也可以从 0 开始，舍去 a_0

在式(1.1 ) 中，只需要求出系数 a_0,a_n,b_n ，就可以得出傅里叶级数。利用三角函数正交性可以使式子中只保留其中一个系数。

三角函数正交性的描述： 1,\sin(x),\sin(2x),\sin(3x) ··· \sin(nx), \cos(x),\cos(2x),\cos(3x) ··· \cos(nx) 在[0,2\pi]上正交

当m!=n时, k 为任意实数

\int_{-\pi}^\pi k\sin(nx)dx=0\\ \int_{-\pi}^\pi k\cos(nx)dx=0\\ \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\cos(mx)dx=0\\ \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\sin(mx)dx=0,\\ \int_{-\pi}^\pi\cos(nx)\cos(mx)dx=0

当m=n时

\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx=\pi,\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx=\pi\\

下面进行系数的推导

对式 (1.1) 两边在 [-\pi,\pi] 上积分，括号内为零，剩下 \int_{-\pi}^\pi f(x)dx=\int_{-\pi}^\pi a_0dx=2\pi a_0\\

a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx \tag{2.1}

对式 (1.1) 两边乘 \cos(mx) 在 [-\pi,\pi] 进行积分, 由三角函数正交性\int_{-\pi}^{\pi}a_0\cos(mx)dx=0,\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin(nx)\cos(mx)dx=0\\

则\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos(mx)\sum_{1}^\infty \cos(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos^2(nx)dx\\

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx \tag{2.2}

对式 (1.1) 两边对 \sin(mx) 在 [-\pi,\pi] 进行积分, 由\int_{-\pi}^{\pi}a_0\sin(mx)dx,\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos(nx)\sin(mx)dx=0\\

则\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin(mx)\sum_{1}^\infty \sin(nx)dx=\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin^2(nx)dx\\

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \tag{2.3 }

完成对系数的推导，展开为

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt +\frac{1}{\pi}\sum_{i = 1}^{\infty}[\cos nx\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos ntdt + \sin nx\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin tdt] \tag{2.4}

一般使用时，只需要知道 f(x) 的收敛行为由狄利克雷定理描述：

(1) f(x) 在 (-\pi,\pi) 除有限个点外均有定义

(2) f(x) 在 (-\pi,\pi) 外为周期函数，周期为 2\pi

(3) f(x) 分段光滑，即 f^\prime(x)，f(x) 在 (-\pi,\pi) 内分段连续

则傅里叶级数收敛于 a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\begin{cases} f(x) & x为连续点\\ \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} & x为间断点 \end{cases}

其中， f(x+0),f(x-0) 分别为 f(x) 的右极限，左极限

只需要知道什么时候可以用就可以了，下面对收敛的证明可看可不看，不影响积分，变换的学习。

证明需要用到 \delta 函数的"筛选性质"

特征一:

\delta=\begin{cases} 0 & x\ne x_0\\ 1 & x=x_0\\ \end{cases}\\

特征二:

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)dx=1\\

从对\delta 函数的描述可知， \delta 函数在特定值处无限大，且在整个区间上的面积为1，由此引出的重要性质:对任意 \color{red}{连续函数f(x)} 有

\int_{a}^{b}f(x)\delta(x-x_0)dx= \int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon}f(x)dx =f(x_0)\\

\delta 函数的辅助函数也具有 \delta 函数的两个特征。定义辅助函数 F_\beta(x) ,参变量 \beta 决定了 \lim_{x\to \beta}F(x) 的高度，下面给出书中的一个例子

U_\beta(x)=\begin{cases} \frac{1}{2\beta} & (|x|\leq\beta)\\ 0 &(|x|>\beta)\\ \end{cases}\\

再来看另一个辅助函数，它将在证明收敛性中用到：1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+···+2\cos(mx)\\

首先利用积化和差计算下面的式子：

\sin(\frac{1}{2}x)\cos(mx)=\frac{1}{2}\sin((m+\frac{1}{2})x)-\sin((m-\frac{1}{2})x)\\

则有

2\sin(\frac{1}{2}x)[2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+···+2\cos(mx)]\\ =(\sin\frac{3}{2}x - \sin\frac{1}{2}x)+(\sin\frac{5}{2}x - \sin\frac{3}{2}x)+(\sin\frac{7}{2}x - \sin\frac{5}{2}x)+···+[\sin(n+\frac{1}{2}) - \sin(m-\frac{1}{2})x]\\ =\sin(m+\frac{1}{2})x-\sin\frac{1}{2}

对上式两边同除 \sin\frac{1}{2}x ，移项得到

1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+···+2\cos(mx)=\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}\tag{2.5}

(2.5) 式左右两边同时在 [-\pi,\pi] 积分,余弦项积分为0

0=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}+m)x}{\sin\frac{1}{2}x}-2\pi\tag{2.6}

令 D_m=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}+m)x}{\sin\frac{1}{2}x} , D_m 也称为狄利克雷内核， (2.6) 式变为 \int_{-\pi}^{\pi}D_m(x)dx=1\\

则 D_m 为区间 [-\pi,\pi] 上的归一化函数，同时也是偶函数

D_m(0)=\frac{1}{2\pi}\lim_{x \to 0}\frac{\sin(m+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2\pi}(2m+1)\\

D_m(0) 随着 m 的增大线性增大，当 m\rightarrow\infty , D_m(0)\rightarrow\infty , D_m(x) 符合 \delta函数的要求，即为辅助函数，具有 \delta 函数的筛选性质

2.狄利克雷定理的证明

傅里叶级数的部分和 \begin{align} S_m(x) &=a_0+\sum_{i=1}^{m}(a_n\cos nx +b_n\sin nx)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt +\frac{1}{\pi}\sum_{i = 1}^{m}(\cos nx\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos ntdt + \sin nx\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin tdt)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)[1+\sum_{i=1}^{m}\cos n(t-x)]dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_m(t-x)dt \end{align}\\

上面提到 \delta 函数对连续函数的筛选作用，辅助函数具有同样的作用，因此，对于连续值 x ，当 m\rightarrow \infty ，利用 D_m(t-x) 的筛选作用，可得 \int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_m(t-x)dt=f(x) ，即狄利克雷定理在连续点是正确的。

间断点处的证明（以后更新）

若函数 \color{red}{若函数\phi(x)为定义在(0，L)的非周期函数，且分段光滑} ，则 (2.4) 式不再适用，而应该将 \phi(x) 展开为半幅傅里叶级数

正弦展开： \phi(x)=\sum_{i=1}^{\infty}C_n\sin \frac{n\pi x}{L}，C_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\phi(x)\sin \frac{n\pi x}{L}dx\\ (n=1,2...)

或按照余弦展开： \phi(x)=D_0+\sum_{i=1}^{\infty}D_n\cos \frac{n\pi x}{L}，D_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\phi(x)\cos \frac{n\pi x}{L}dx,D_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\phi(x)dx\\ (n=1,2...)

推导过程同二中的相同思路，略