当我们提及方波与sinc函数时，我们可以条件反射般说出：“方波的傅里叶变换时sinc,sinc的傅里叶变换是方波。“但是，由于傅里叶变换存在多种形式（连续的、离散的、周期的、非周期的），当我们具体到特定场景下两者变换的表达式时，我们可能容易搞混。

因而，本篇文章将各种傅里叶变换形式下的方波与sinc函数之间的关系进行整理，并借此分享一下个人的一些助记方法，希望能帮助看到这篇文章的你。

此类傅里叶变换称为傅里叶级数(FS),信号的时域和频域特性如下：

其示意图如下：

傅里叶级数变换公式如下： x ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ X ( n ω 0 ) e j n ω 0 t X ( n ω 0 ) = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 x ( t ) e − j n ω 0 t d t 其 中 ， ω 0 = 2 π / T x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{X(n\omega_0)e^{jn\omega_0t}}\\ X(n\omega_0)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\\ 其中，\omega_0=2\pi/T x(t)=n=−∞∑+∞​X(nω0​)ejnω0​tX(nω0​)=T1​∫−T/2T/2​x(t)e−jnω0​tdt其中，ω0​=2π/T 在时域为周期连续信号，频域为离散非周期信号的情况下，方波与sinc出现的场景通常是：时域为具有特定占空比的连续周期方波信号，频域为离散的sinc信号。

假定时域周期方波信号的周期为 T T T,一个周期内方波的有效长度为 2 T 1 2T_1 2T1​，如下图所示： 选定积分区间[-T/2,T/2]来进行计算，需要注意的时，在计算时，要分n是否为0进行讨论，因为在计算积分的过程中，会出现1/n这一项，因而需要讨论n是否为0. 当n为0时： X ( 0 ω 0 ) = 1 T ∫ − T 1 T 1 d t = 2 T 1 T X(0\omega_0)=\frac{1}{T}\int_{-T_1}^{T_1}dt=\frac{2T_1}{T} X(0ω0​)=T1​∫−T1​T1​​dt=T2T1​​ 当n不为0时： X ( n ω 0 ) = 1 T ∫ − T 1 T 1 e − j n ω 0 t d t = − 1 j n ω 0 T e − j n ω 0 t ∣ − T 1 T 1 = sin ⁡ ( n ω 0 T 1 ) n π X(n\omega_0)=\frac{1}{T}\int_{-T_1}^{T_1}{e^{-jn\omega_0t}}dt=-\frac{1}{jn\omega_0T}e^{-jn\omega_0t}|_{-T_1}^{T_1}\\ =\frac{\sin(n\omega_0T_1)}{n\pi} X(nω0​)=T1​∫−T1​T1​​e−jnω0​tdt=−jnω0​T1​e−jnω0​t∣−T1​T1​​=nπsin(nω0​T1​)​

其中， ω 0 = 2 π T \omega_0=\frac{2\pi}{T} ω0​=T2π​

频谱示意图(图片来自《信号与系统》奥本海姆)如下：

助记：

对于 X ( 0 ) X(0) X(0),表示信号的0频分量，也即信号的平均值。对于方波信号，平均值即为信号的占空比，所以可以根据周期方波信号的示意图，直接写出 X ( 0 ) X(0) X(0)的值。

对于n不为0的情况，将上述结果进行该写：

X ( n ω 0 ) = sin ⁡ ( n ω 0 T 1 ) n π = ω 0 T 1 sin ⁡ ( n ω 0 T 1 ) π n ω 0 T 1 = ω 0 T 1 s i n c ( n ω 0 T 1 ) π = 2 π T 1 T s i n c ( n ω 0 T 1 ) π = a 0 s i n c ( n ω 0 T 1 ) X(n\omega_0)=\frac{\sin(n\omega_0T_1)}{n\pi}=\omega_0T_1\frac{\sin(n\omega_0T_1)}{\pi n\omega_0T_1}=\omega_0T_1\frac{sinc(n\omega_0T_1)}{\pi}\\=\frac{2\pi T_1}{T}\frac{sinc(n\omega_0T_1)}{\pi}=a_0sinc(n\omega_0T_1) X(nω0​)=nπsin(nω0​T1​)​=ω0​T1​πnω0​T1​sin(nω0​T1​)​=ω0​T1​πsinc(nω0​T1​)​=T2πT1​​πsinc(nω0​T1​)​=a0​sinc(nω0​T1​)

由上式可知，要确定n不为0时的频谱，需要求的参数 a 0 a_0 a0​, ω 0 \omega_0 ω0​, T 1 T_1 T1​， a 0 a_0 a0​即为求得的占空比； ω 0 \omega_0 ω0​为基频，当给定周期信号的周期 T T T时， ω 0 \omega_0 ω0​便也确定了； T 1 T_1 T1​为正半轴第一个零点，根据周期信号的时域示意图，便可以直接得到。

此类傅里叶变换称为离散傅里叶级数(DFS),信号的时域和频域特性如下：

其示意图如下：

离散傅里叶变换公式如下： x [ n ] = x ( n T 1 ) = ∑ k = < N > X ( k ω 0 ) e j k ω 0 n = ∑ k = < N > X ( k ω 0 ) e j k ( 2 π / N ) n X ( k ω 0 ) = 1 N ∑ n = < N > x [ n ] e − j k ω 0 n = 1 N ∑ n = < N > x [ n ] e − j k ( 2 π / N ) n x[n]=x(nT_1)=\sum_{k=}{X(k\omega_0)e^{jk\omega_0n}}=\sum_{k=}{X(k\omega_0)e^{jk(2\pi /N)n}}\\ X(k\omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=}{x[n]e^{-jk\omega_0n}}=\frac{1}{N}\sum_{n=}{x[n]e^{-jk(2\pi /N)n}} x[n]=x(nT1​)=k=∑​X(kω0​)ejkω0​n=k=∑​X(kω0​)ejk(2π/N)nX(kω0​)=N1​n=∑​x[n]e−jkω0​n=N1​n=∑​x[n]e−jk(2π/N)n 由于时域和频域均为周期的离散信号，所以方波与sinc出现的场景具有对称性，通常有如下两种场景：时域为具有特定占空比的离散周期方波信号，频域为离散周期sinc信号以及频域为具有特定占空比的离散周期方波信号，时域为离散周期sinc信号。

假定时域周期方波信号的周期为 N N N,一个周期内方波的有效长度为 2 N 1 + 1 2N_1+1 2N1​+1，如下图所示：

选定积分区间 [ − N 1 , N 1 ] [-N_1,N_1] [−N1​,N1​]来进行计算。与上述连续周期方波的求解不同，在计算时，不需要讨论k是否为0，但要注意DFS的周期性.

X ( k ω 0 ) = 1 N ∑ n = − N 1 N 1 e − j k ( 2 π / N ) n X(k\omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=-N_1}^{N_1}{e^{-jk(2\pi/N)n}} X(kω0​)=N1​n=−N1​∑N1​​e−jk(2π/N)n 令 m = n + N 1 m=n+N_1 m=n+N1​,则上式变为： X ( k ω 0 ) = 1 N ∑ m = 0 2 N 1 e − j k ( 2 π / N ) ( m − N 1 ) = 1 N e j k ( 2 π / N ) N 1 ∑ m = 0 2 N 1 e − j k ( 2 π / N ) m = 1 N e j k ( 2 π / N ) N 1 ( 1 − e − j k 2 π ( 2 N 1 + 1 ) / N 1 − e − j k ( 2 π / N ) ) = 1 N sin ⁡ ( 2 π k ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) sin ⁡ ( π k / N ) X(k\omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{m=0}^{2N_1}{e^{-jk(2\pi/N)(m-N_1)}}=\frac{1}{N}e^{jk(2\pi/N)N_1}\sum_{m=0}^{2N_1}{e^{-jk(2\pi/N)m}}\\ =\frac{1}{N}e^{jk(2\pi/N)N_1}(\frac{1-e^{-jk2\pi(2N_1+1)/N}}{1-e^{-jk(2\pi/N)}}) =\frac{1}{N}\frac{\sin(2\pi k(N_1+1/2)/N)}{\sin(\pi k/N)} X(kω0​)=N1​m=0∑2N1​​e−jk(2π/N)(m−N1​)=N1​ejk(2π/N)N1​m=0∑2N1​​e−jk(2π/N)m=N1​ejk(2π/N)N1​(1−e−jk(2π/N)1−e−jk2π(2N1​+1)/N​)=N1​sin(πk/N)sin(2πk(N1​+1/2)/N)​ 当 k = 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ k=0,\pm N,\pm 2N,\cdots k=0,±N,±2N,⋯时,借助洛必达法则得： X ( k ω 0 ) = lim ⁡ k → 0 1 N sin ⁡ ( 2 π k ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) sin ⁡ ( π k / N ) = 1 N 2 π ( N 1 + 1 / 2 ) / N cos ⁡ ( 2 π k ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) π / N cos ⁡ ( π k / N ) = 2 N 1 + 1 N , k = 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ X(k\omega_0)=\lim_{k\rightarrow 0} \frac{1}{N}\frac{\sin(2\pi k(N_1+1/2)/N)}{\sin(\pi k/N)}=\frac{1}{N}\frac{2\pi (N_1+1/2)/N\cos(2\pi k(N_1+1/2)/N)}{\pi /N\cos(\pi k/N)}\\ =\frac{2N_1+1}{N},k=0,\pm N,\pm 2N,\cdots X(kω0​)=k→0lim​N1​sin(πk/N)sin(2πk(N1​+1/2)/N)​=N1​π/Ncos(πk/N)2π(N1​+1/2)/Ncos(2πk(N1​+1/2)/N)​=N2N1​+1​,k=0,±N,±2N,⋯

频谱示意图(图片来自《信号与系统》奥本海姆)如下： 助记：

当 k = 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ k=0,\pm N,\pm 2N,\cdots k=0,±N,±2N,⋯时,此时的 X ( k ω 0 ) X(k\omega_0) X(kω0​),表示信号的平均值,即方波信号的占空比，所以可以根据周期方波信号的示意图，直接写出此时 X ( k ω 0 ) X(k\omega_0) X(kω0​)的值。

当 k ≠ 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ k\neq0,\pm N,\pm 2N,\cdots k​=0,±N,±2N,⋯，可将此时的 1 N sin ⁡ ( 2 π k ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) sin ⁡ ( π k / N ) \frac{1}{N}\frac{\sin(2\pi k(N_1+1/2)/N)}{\sin(\pi k/N)} N1​sin(πk/N)sin(2πk(N1​+1/2)/N)​与连续周期方波的傅里叶级数 sin ⁡ ( n ω 0 T 1 ) n π \frac{\sin(n\omega_0T_1)}{n\pi} nπsin(nω0​T1​)​( = 1 N sin ⁡ ( 2 π n T 1 / N ) n π / N =\frac{1}{N}\frac{\sin(2\pi nT_1/N)}{n\pi /N} =N1​nπ/Nsin(2πnT1​/N)​)进行类比：

1)一方面，离散情况下的 N 1 + 1 / 2 N_1+1/2 N1​+1/2等价于连续情况的 T 1 T_1 T1​

2)另一方面，离散情况下最终结果的分母是一个sin()函数，而连续情况下是一个线性函数。这是因为连续情况下对幂函数 e m x e^{mx} emx进行积分时，在凑积分时，配出来的系数为 1 / m 1/m 1/m；而在离散情况下，对幂函数 e m n e^{mn} emn进行求和时，配出来的系数为 1 / 1 − e m 1/1-e^m 1/1−em,再利用欧拉公式，便可得到 1 / s i n ( ) 1/sin() 1/sin()的形式。

假定信号的频域为周期方波，周期为 N N N,一个周期内方波的有效长度为 2 N 1 2N_1 2N1​.由于傅里叶正变换与逆变换具有很好的对称性，因而此类情景的求解过程与上述过程非常相似，求解过程如下：

选定积分区间 [ − N 1 , N 1 ] [-N_1,N_1] [−N1​,N1​]来进行计算。利用DTFT的逆变换进行计算

x [ n ] = ∑ k = − N 1 N 1 e j k ( 2 π / N ) n x[n]=\sum_{k=-N_1}^{N_1}{e^{jk(2\pi/N)n}} x[n]=k=−N1​∑N1​​ejk(2π/N)n 令 m = k + N 1 m=k+N_1 m=k+N1​,则上式变为： X ( k ω 0 ) = ∑ m = 0 2 N 1 e j n ( 2 π / N ) ( m − N 1 ) = e − j n ( 2 π / N ) N 1 ∑ m = 0 2 N 1 e j n ( 2 π / N ) m = e − j n ( 2 π / N ) N 1 ( 1 − e j n 2 π ( 2 N 1 + 1 ) / N 1 − e j n ( 2 π / N ) ) = sin ⁡ ( 2 π n ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) sin ⁡ ( π n / N ) , k ≠ 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ X(k\omega_0)=\sum_{m=0}^{2N_1}{e^{jn(2\pi/N)(m-N_1)}}=e^{-jn(2\pi/N)N_1}\sum_{m=0}^{2N_1}{e^{jn(2\pi/N)m}}\\ =e^{-jn(2\pi/N)N_1}(\frac{1-e^{jn2\pi(2N_1+1)/N}}{1-e^{jn(2\pi/N)}}) =\frac{\sin(2\pi n(N_1+1/2)/N)}{\sin(\pi n/N)},k\neq0,\pm N,\pm 2N,\cdots X(kω0​)=m=0∑2N1​​ejn(2π/N)(m−N1​)=e−jn(2π/N)N1​m=0∑2N1​​ejn(2π/N)m=e−jn(2π/N)N1​(1−ejn(2π/N)1−ejn2π(2N1​+1)/N​)=sin(πn/N)sin(2πn(N1​+1/2)/N)​,k​=0,±N,±2N,⋯ 当 k = 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ k=0,\pm N,\pm 2N,\cdots k=0,±N,±2N,⋯时,借助洛必达法则得： X ( k ω 0 ) = lim ⁡ k → 0 sin ⁡ ( 2 π k ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) sin ⁡ ( π k / N ) = 2 π ( N 1 + 1 / 2 ) / N cos ⁡ ( 2 π k ( N 1 + 1 / 2 ) / N ) π / N cos ⁡ ( π k / N ) = 2 N 1 + 1 , k = 0 , ± N , ± 2 N , ⋯ X(k\omega_0)=\lim_{k\rightarrow 0} \frac{\sin(2\pi k(N_1+1/2)/N)}{\sin(\pi k/N)}=\frac{2\pi (N_1+1/2)/N\cos(2\pi k(N_1+1/2)/N)}{\pi /N\cos(\pi k/N)}\\ =2N_1+1,k=0,\pm N,\pm 2N,\cdots X(kω0​)=k→0lim​sin(πk/N)sin(2πk(N1​+1/2)/N)​=π/Ncos(πk/N)2π(N1​+1/2)/Ncos(2πk(N1​+1/2)/N)​=2N1​+1,k=0,±N,±2N,⋯

助记：

此类傅里叶变换称为傅里叶变化(FT),信号的时域和频域特性如下：

其示意图如下：

傅里叶变换公式如下： x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( ω ) e j ω t d ω X ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{- \infty}^{+\infty} {X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}\\ X(\omega)=\int_{- \infty}^{+\infty} {x(t)e^{-j\omega t}dt} x(t)=2π1​∫−∞+∞​X(ω)ejωtdωX(ω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt 注：本文在分析时，默认信号的频率坐标为角频率 ω \omega ω

与周期信号的傅里叶变换相比，FT表示的是更一般的情况，通常有如下两种场景：时域为方波信号，频域为sinc信号以及频域为方波，时域为sinc信号。

此类情况下，也可分成两种情况：时域为单个方波和时域为周期方波。对于后者，他与前文介绍的FS是同一种情景，只不过这里要求的是周期方波的FT，而不是FS。根据FS与FT之间的关系，可以借助前文求得的傅里叶级数，快速得到时域周期方波的傅里叶变换，两种关系如下： X ( ω ) = 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ a k δ ( ω − k ω 0 ) , 其 中 ω 0 = 2 π T X(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k\delta(\omega-k\omega_0)},其中\omega_0=\frac{2\pi}{T} X(ω)=2πk=−∞∑+∞​ak​δ(ω−kω0​),其中ω0​=T2π​ 因而，本文主要讨论时域为单个方波的情况。假定时域方波信号的有效长度为 2 T 1 2T_1 2T1​，如下图所示： 利用FT正变换进行计算，得到信号的频谱：

X ( ω ) = ∫ − T 1 + T 1 e − j ω t d t = 2 T 1 s i n ( T 1 ω ) T 1 ω = 2 T 1 s i n c ( T 1 ω ) X(\omega)=\int_{- T_1}^{+T_1} {e^{-j\omega t}dt}=2T_1\frac{sin(T_1\omega)}{T_1\omega}=2T_1sinc(T_1\omega) X(ω)=∫−T1​+T1​​e−jωtdt=2T1​T1​ωsin(T1​ω)​=2T1​sinc(T1​ω) 频谱示意图(图片来自《信号与系统》奥本海姆)如下：

助记：

由上述计算结果可知，欲确定方波信号的频谱，仅需要知道参数 T 1 T_1 T1​即可(默认方波的幅值为1的前提下)。

参数 T 1 T_1 T1​由两部分来共同组成最终结果：

1)常数项系数 2 T 1 2T_1 2T1​,本质上表示的是方波信号的面积

2) s i n c ( T 1 ω ) sinc(T_1\omega) sinc(T1​ω)项，直接将正半轴的零点当成 ω \omega ω的系数即可

当在具体求解问题时，假如给定一个像上图所示的对称分布的时域方波，再求频域表达式时：

1)先找到正半轴零点 x 0 x_0 x0​,这时便可写出sinc项 s i n c ( x 0 ω ) sinc(x_0\omega) sinc(x0​ω)

2)再计算出方波的面试 S S S，由此便得到信号频谱： X ( ω ) = S s i n c ( x 0 ω ) X(\omega)=Ssinc(x_0\omega) X(ω)=Ssinc(x0​ω)

假定频域方波信号的有效长度为 2 W 2W 2W，如下图所示：

利用FT逆变换进行计算，得到信号的时域表达式：

x ( t ) = 1 2 π ∫ − W + W e j ω t d ω = 2 W 2 π s i n ( W t ) W t = 2 W 2 π s i n c ( W t ) x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{- W}^{+W} {e^{j\omega t}d\omega}=\frac{2W}{2\pi}\frac{sin(Wt)}{Wt}=\frac{2W}{2\pi}sinc(Wt) x(t)=2π1​∫−W+W​ejωtdω=2π2W​Wtsin(Wt)​=2π2W​sinc(Wt) 频谱示意图(图片来自《信号与系统》奥本海姆)如下：

注：上式故意没有进行约分化简，是因为这种形式更具备可解释性，也更方便记忆。

助记：

与时域方波的计算结果类似，仅需将3.1节中的 ω \omega ω替换成 t t t,令外加一个系数 1 / 2 π 1/2\pi 1/2π，便可得到上述结果。欲确定方波信号的时域表达式，仅需要知道参数 W W W即可。

参数 W W W由两部分来共同组成最终结果：

1)常数项系数 2 W / 2 π 2W/2\pi 2W/2π,本质上表示的是方波信号的面积

2) s i n c ( W t ) sinc(Wt) sinc(Wt)项，直接将正半轴的零点当成 t t t的系数即可

当在具体求解问题时，假如给定一个像上图所示的对称分布的频域方波，再求时域表达式时：

1)先找到正半轴零点 W 0 W_0 W0​,这时便可写出sinc项 s i n c ( W 0 t ) sinc(W_0t) sinc(W0​t)

2)再计算出方波的面试 S S S，由此便得到信号频谱： X ( ω ) = S 2 π s i n c ( x 0 ω ) X(\omega)=\frac{S}{2\pi} sinc(x_0\omega) X(ω)=2πS​sinc(x0​ω)

将第2节中离散傅里叶级数的两种情况，与本节中的两种情况进行对比可知，前者的两种情况相差一个系数 1 / N 1/N 1/N,后者的两种情况相差一个系数 1 / 2 π 1/2\pi 1/2π;这与DFS与FS正反变换的系数相对应。

此类傅里叶变换称为离散时间傅里叶变化(DTFT),信号的时域和频域特性如下：

其示意图如下：

离散时间傅里叶变换公式如下： x [ n ] = x ( n t ) = 1 2 π ∫ 2 π X ( e j ω ) e j ω n d ω X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n x[n]=x(nt)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} {X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega}\\ X(e^{j\omega})=\sum_{n=- \infty}^{+\infty} {x(n)e^{-j\omega n}} x[n]=x(nt)=2π1​∫2π​X(ejω)ejωndωX(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn 注：本文在分析时，默认信号的频率坐标为角频率 ω \omega ω

与FT类似，DTFT表示的是离散情况下一般的情况，通常有如下两种场景：时域为方波信号，频域为sinc信号以及频域为方波，时域为sinc信号。

此类情况下，也可分成两种情况：时域为单个方波和时域为周期方波。对于后者，他与前文介绍的DFS是同一种情景，只不过这里要求的是周期方波的DTFT，而不是DFS。根据DFS与DTFT之间的关系，可以借助前文求得的傅里叶级数，快速得到时域周期方波的傅里叶变换，两种关系如下： X ( e j ω ) = 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ a k δ ( ω − k ω 0 ) , 其 中 ω 0 = 2 π N X(e^{j\omega})=2\pi\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k\delta(\omega-k\omega_0)},其中\omega_0=\frac{2\pi}{N} X(ejω)=2πk=−∞∑+∞​ak​δ(ω−kω0​),其中ω0​=N2π​ 因而，本文主要讨论时域为单个方波的情况。假定时域方波信号的有效长度为 2 N 1 + 1 2N_1+1 2N1​+1，如下图所示：

利用DTFT正变换进行计算，得到信号的频谱：

X ( e j ω ) = ∑ n − N 1 + N 1 e − j ω n = s i n ( ( N 1 + 1 ) ω ) s i n ( w / 2 ) X(e^{j\omega})=\sum_{n- N_1}^{+N_1} {e^{-j\omega n}}=\frac{sin((N_1+1)\omega)}{sin(w/2)} X(ejω)=n−N1​∑+N1​​e−jωn=sin(w/2)sin((N1​+1)ω)​ 频谱示意图(图片来自《信号与系统》奥本海姆)如下：

助记：

由上述计算结果可知，欲确定方波信号的频谱，仅需要知道参数 N 1 N_1 N1​即可(默认方波的幅度为1的前提下)。

可以将此结果 s i n ( ( N 1 + 1 ) ω ) s i n ( w / 2 ) \frac{sin((N_1+1)\omega)}{sin(w/2)} sin(w/2)sin((N1​+1)ω)​与4.1连续方波信号的频谱表达式 2 T 1 s i n c ( T 1 ω ) 2T_1sinc(T_1\omega) 2T1​sinc(T1​ω)( = 2 T 1 s i n ( T 1 ω ) T 1 ω = s i n ( T 1 ω ) ω / 2 =2T_1\frac{sin(T_1\omega)}{T_1\omega}=\frac{sin(T_1\omega)}{\omega/2} =2T1​T1​ωsin(T1​ω)​=ω/2sin(T1​ω)​)进行对比记忆。

假定在一个周期内频域方波信号的有效长度为 2 ω c 2\omega_c 2ωc​，如下图所示：

利用DTFT逆变换进行计算，得到信号的时域表达式：

x [ n ] = 1 2 π ∫ 2 π e j ω n d ω = 2 ω c 2 π s i n ( ω c n ) ω c n = 2 ω c 2 π s i n c ( ω c n ) x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} {e^{j\omega n}d\omega}=\frac{2\omega_c}{2\pi}\frac{sin(\omega_cn)}{\omega_cn}=\frac{2\omega_c}{2\pi}sinc(\omega_cn) x[n]=2π1​∫2π​ejωndω=2π2ωc​​ωc​nsin(ωc​n)​=2π2ωc​​sinc(ωc​n) 助记：

上述计算结果与3.2节频域为单个方波的情况非常相似，这是因为两者都是连续谱，尽管本节涉及到的频谱是周期谱，但是积分区间仅在 2 π 2\pi 2π范围内，这和3.2节整个 ω \omega ω轴上的积分没有区别。

因而，仿照3.2节的计算方式，直接便可以写出本节的结果。

以上便是信号分量与处理领域，所涉及到的几乎全部场景下的方波与sinc变换对的具体形式，希望能够对正在学习相关课程的同学，以及学过相关课程但是有所遗忘的同学有所帮助。

最后，需要说明的是，以上内容大部分是自己总结的一些‘规律’，其主要出发点是希望能够将各个知识点串联起来，有个宏观的把握，从而有利于记忆。如果内容中存在错误的话，非常欢迎在评论区或私信我进行指正，谢谢。

另外，整理不易，如果觉得对你有所帮助的话，希望能帮忙点个赞，谢谢~

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