关于arctanx的麦克劳林展开式推导: 先把结论写上:
a
r
c
t
a
n
x
=
x
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
⋯
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
+
⋯
(
−
1
⩽
x
⩽
1
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
2
n
+
1
(
−
1
⩽
x
⩽
1
)
\begin{aligned} arctanx=&x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots+(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots &(-1 \leqslant x \leqslant 1)\\ =&\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}&(-1 \leqslant x \leqslant 1)\\ \end{aligned}
arctanx==x−31x3+51x5−⋯+(−1)n2n+1x2n+1+⋯n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+1(−1⩽x⩽1)(−1⩽x⩽1)
关于这个式子,最简洁的证明用到了级数的一些知识;第二种是我自己瞎jb推的,比较繁琐,也不严谨,但是学完了泰勒展开就能推
方法一
思想:先求导然后展开然后积分
摘自教科书!!!!!
求导,再由等比级数展开:
(
a
r
c
t
a
n
x
)
′
=
1
1
+
x
2
=
1
−
x
2
+
x
4
−
⋯
+
(
−
x
2
)
n
+
⋯
(
−
1
<
x
<
1
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
x
2
)
n
(
−
1
<
x
<
1
)
\begin{aligned} (arctanx)'=&\frac{1}{1+x^2}\\ =&1-x^2+x^4-\cdots+(-x^2)^n+\cdots\ \ \ &(-1 |