2024年考研数二第11题解析:曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定 |
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一、题目 曲线 $y^{2}=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为( ) 难度评级: 二、解析如果不知道什么是曲率圆,或者不知道如何求解曲率圆,可以查看荒原之梦考研数学的下面这两篇文章: 什么是曲率?什么是曲率圆? 如何求解曲率圆的方程? 解法一对于曲线 $y^{2}=x$, 我们可以将 $x$ 看作是 $y$ 的函数,因此就得到曲线: $$x(y) = y^{2}$$ 上面的曲线在点 $(0,0)$ 处的曲率为: $$K=\left.\frac{\left|x^{\prime \prime}(y)\right|}{\left(1+\left[x^{\prime}(y)\right]^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right|_{(0,0)} = \frac{2}{(1+0)^{\frac{3}{2}}} = 2$$ 于是该曲率圆的曲率半径为: $$R=\frac{1}{K}=\frac{1}{2}$$ 接下来,本应该按照公式计算曲率圆 $(x-\alpha)^{2} + (y – \beta)^{2}$ $=$ $R^{2}$ 中的圆心 $(\alpha, \beta)$. 但是,一般情况下,要求解的曲率圆的圆心都在一个特殊的位置,因此,我们可以先通过求解切线等方式,看一看是否能通过几何关系确定曲率圆的圆心。 对于曲线 $x(y) = y^{2}$, 我们计算其在点 $(0, 0)$ 处的切线,先计算斜率 $k$:$x(y) = y^{2} \Rightarrow$$x^{\prime}(y) = 2y \Rightarrow y = 0 \Rightarrow$$k = x^{\prime}(0) = 0$ 于是:$x = ky + b \Rightarrow$$0 = 0 \cdot y + 0 \Rightarrow$$b = 0$ 于是可知,曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线为:$\textcolor{blue}{x = 0}$ 也就是说,曲线 $x(y) = y^{2}$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线就是 $Y$ 轴。 图 01 是曲线 $x(y) = y^{2}$ 的函数图象: 根据圆形的几何特征,圆心位于切点内侧,距离切线(垂直距离)半径长度的地方,因此,该曲率圆的圆心为: $$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$$ 因此,曲率圆方程为: $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$$ 即: $$x^{2}-x+y^{2}=0$$ 解法二该解法与解法一的区别就是对曲线 $y^{2}=x$ 的处理方式不同—— 在本解法中,我们将曲线 $y^{2}=x$ 看作是一个参数方程,之后,按照参数方程求曲率半径的公式求解。 首先,曲线 $y^{2}=x$ 对应的参数方程为: $$\left\{\begin{array}{l} x(t) = y^{2}\\ y(t) = y\end{array}\right.$$ 由这篇笔记可知,参数方程计算曲率的公式为: $$K=\frac{\left|x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-x^{\prime \prime}(t) y^{\prime}(t)\right|}{\left[x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}$$ 于是,在 $(0,0)$ 处,该曲率圆的曲率为: $$K=2$$ 之后的计算步骤和解法一相同。 综上可知,要求解的曲率圆为: $$x^{2}-x+y^{2}=0$$ 涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。 线性代数以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。 特别专题通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。 让考场上没有难做的数学题! 相关文章: 做了这道题,你对分块矩阵性质的理解很可能将会更上一层楼 2013年考研数二第23题解析:二次型、二次型的标准型 考研线性代数:行列式部分初级专项练习题(2024 年) 1989 年考研数二真题解析 线性无关的向量组「乘以」线性相关的向量组会得到一个线性相关的向量组 1993 年考研数二真题解析:一定要会用微分的方法计算旋转体的体积而不只是套公式 2015年考研数二第03题解析 有界函数乘以零得零:但反过来并不成立 1990 年考研数二真题解析 这道“转置”题,你转晕了嘛? 1992 年考研数二真题解析 1991 年考研数二真题解析 1988 年考研数二真题解析 1987 年考研数二真题解析 将二次型化为标准型(规范型)的方法之:拉格朗日配方法 2023年考研数二第06题解析:换元积分、指数函数的求导法则 2023年考研数二第10题解析:线性相关、齐次线性方程组 2024年考研数二第20题解析:多元复合函数求偏导、一重定积分的计算 一个向量和一个向量组无关,则这个向量和这个向量组中的任意个向量都无关 典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现) 当变量趋于无穷大时,我们可以尝试提取出式子中共同的部分(抽离无穷大),或许就可以得到无穷小量 向量组的线性相关性与秩(C019) 典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等) 怎么证明二元函数的极限存在:用放缩法 这个矩阵求逆的题目直接求解很快,间接求解也可能很“快” |
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