[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）] ( https://www.zxxk.com/docpack/2875423.html) \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

选择性第二册同步巩固，难度2颗星！

若某个问题中的函数关系用\(f(x)\)表示，可用式子 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}\)表示函数\(f(x)\)从\(x_0\)到\(x_0+∆x\)的平均变化率. 【例】 函数\(f(x)=x^2\)在区间\([-1 ，2]\)上的平均速度为\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{4-1}{3}=1\)． 它与斜率\(k_{A B}\)相等.  

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.  

函数\(f(x)\)在\(x=x_0\)处的瞬时变化率是

则称它为函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数，记作\(f'(x_0)\)或\(\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}\)， 即 $$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim、_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$

【例1】 已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，则 \(\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\)(　　)  A．\(f'(1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f(1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(f(∆x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f'(∆x)\) 答案 \(A\)   【例2】 一质点运动的方程为\(s(t)=t^2\)，则质点在\(t=2\)时的瞬时速度是\(\underline{\quad \quad}\) . 解 质点在\(t=2\)时的瞬时速度 \(s^{\prime}(2)=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{s(2+\Delta x)-s(2)}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(2+\Delta x)^2-4}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+4)=4\).  

若当\(x\)变化时，\(f'(x)\))是\(x\)的函数，则称它为\(f(x)\)的导函数(简称导数)，记作\(f'(x)\)或\(y'\)， 即

【例】 若\(f(x)=x^2\)，求\(f(x)\)的导函数\(f'(x)\). 解 \(f^{\prime}(x)=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f^{\prime}(x)=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+2 x)=2 x\).  

函数\(y=f(x)\)在点\(x=x_0\)处的导数的几何意义是曲线\(y=f(x)\)在点\(P(x_0 ，f(x_0))\)处的切线的斜率，即：曲线\(y=f(x)\)在点\(P(x_0 ，f(x_0))\)处的切线l的斜率\(k=f'(x_0)\)，切线\(l\)的方程为\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)．

【例】 求曲线\(y=x^2\)在点\((1，1)\)处的切线方程. 解 切线方程的斜率为 \(k=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta x^2+2 \Delta x}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+2)=2\)， 切线方程为\(y-1=2(x-1)\)，化简为\(2x-y-1=0\).  

【典题1】 函数\(f(x)=x\)，\(f(x)=x^2\)在\([0，1]\)的平均变化率分别记为\(k_1\)，\(k_2\)，则下面结论正确的是(　　)  A．\(k_1>k_2\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(k_10\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(v_4+\bar{v}f'(x_B)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f'(x_A)f'(x_B)\)，故选：\(A\)．

答案 \(B\) 解析 由函数图象可知，当\(x≤0\)时，函数\(y=f(x)\)匀速递增， 故\(f'(x)\)是一个大于\(0\)的常数， 当\(x≥0\)时，函数\(y=f(x)\)递减，且递减幅度越来越快， \(\therefore f'(x)