这是《信号与系统》网上授课的第一次笔记，主要记录一下自己对信号分类以及信号变换的一些理解。

P.S：在《信号与系统》这门课中会经常用到 M a t l a b Matlab Matlab 仿真，我会将全部仿真代码放到 g i t h u b github github 上

【戳这里！】我Blog 中关于《信号与系统》相关代码的 github地址

这个概念其实很好理解：如果每一次发出的信号 x x x，它某一时刻的幅值每次都是固定的，那么这个信号就是确定信号。

我们以后的课程约定： x ( t ) x(t) x(t) 代表连续时间信号，用 t t t 代表连续时间，圆括号括起来。注意：连续时间信号的自变量是连续的，幅值也是连续的。 x [ n ] x[n] x[n] 代表离散时间信号，用 n n n 代表离散时间（只能是整数！），方括号括起来。注意：离散时间信号的自变量是离散的，但是幅值是连续的。

总所周知，对于连续时间信号 y = s i n ( t ) y = sin(t) y=sin(t) 显然是一个周期信号。但是离散时间下， y [ n ] = s i n ( n ) y[n] = sin(n) y[n]=sin(n) 还是不是周期信号呢?

答案是：不一定了！ 下面通过一个例子说明：我们下面的第一幅图是 t t t 从 [-10, 10] 的连续区间下的 s i n ( t ) sin(t) sin(t)，第二幅图是 n n n 在 [-10,10] 的区间下以 1秒为间隔的离散正弦信号：

我们发现，按照这样的时间划分， s i n ( n ) sin(n) sin(n) 已经不再是周期信号了！

先来看看连续时间信号在一段时间 t 1 t_1 t1​~ t 2 t_2 t2​ 内的能量： E = ∫ t 1 t 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t E = \int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt E=∫t1​t2​​∣x(t)∣2dt 那么很自然地，在这段时间内信号的平均功率就是： P = 1 t 2 − t 1 E = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P = \frac{1}{t_2-t_1}E = \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}|x(t)|^2dt P=t2​−t1​1​E=t2​−t1​1​∫t1​t2​​∣x(t)∣2dt

下面我们再看看离散时间信号在一段时间 n 1 n_1 n1​ ~ n 2 n_2 n2​ 的能量： E = ∑ n = n 1 n 2 ∣ x [ n ] ∣ 2 E = \sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2 E=n=n1​∑n2​​∣x[n]∣2 对应地在这段时间内的平均功率为： P = 1 n 2 − n 1 + 1 ∑ n = n 1 n 2 ∣ x [ n ] ∣ 2 P = \frac{1}{n_2-n_1+1}\sum_{n=n_1}^{n_2}|x[n]|^2 P=n2​−n1​+11​n=n1​∑n2​​∣x[n]∣2 这里要特别注意：离散时间下 n 1 n_1 n1​ 与 n 2 n_2 n2​ 之间的间隔是 n 2 − n 1 + 1 n_2-n_1+1 n2​−n1​+1 ！！

然而，这门课研究的，是信号的过去、现在和未来，因此，为了一般化，我们将时间取到无穷： 那么，对于连续时间信号而言，能量就可以表示成： E = lim ⁡ t → ∞ ∫ − T 2 T 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t E = \lim_{t\to ∞}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt E=t→∞lim​∫−2T​2T​​∣x(t)∣2dt 而功率就可以表示成： P = lim ⁡ t → ∞ 1 2 T ∫ − T 2 T 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P = \lim_{t\to ∞}\frac{1}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt P=t→∞lim​2T1​∫−2T​2T​​∣x(t)∣2dt

对于离散时间信号而言，能量可以表示成： E = lim ⁡ N → ∞ ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 E =\lim_{N\to ∞}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 E=N→∞lim​n=−N∑N​∣x[n]∣2 功率可以表示成： P = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 P = \lim_{N\to ∞}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 P=N→∞lim​2N+11​n=−N∑N​∣x[n]∣2 (同样要小心这里的时间间隔 2 N + 1 2N+1 2N+1）

下面整理给出无限时间内，连续时间信号和离散时间信号分别的能量和功率的表达式：

连续时间信号 { E = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T 2 T 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t P = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T 2 T 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t \left \{ \begin{array}{c} E = \lim_{T\to ∞}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt\\ \\ P = \lim_{T\to ∞}\frac{1}{2T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​E=limT→∞​∫−2T​2T​​∣x(t)∣2dtP=limT→∞​2T1​∫−2T​2T​​∣x(t)∣2dt​

离散时间信号 { E = lim ⁡ N → ∞ ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 P = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 \left \{ \begin{array}{c} E =\lim_{N\to ∞}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2\\ \\ P = \lim_{N\to ∞}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2 \end{array} \right. ⎩⎨⎧​E=limN→∞​∑n=−NN​∣x[n]∣2P=limN→∞​2N+11​∑n=−NN​∣x[n]∣2​

在我们得到了无限时间内，连续时间信号和离散时间信号分别的能量和功率的表达式之后，我们给出能量信号和功率信号的定义：

能量有限的，（功率为0）就是能量信号 功率有限的，（能量无穷）就是功率信号

我们看啊，假如这个信号是能量信号，也就说明 E E E 是一个有限的数，而在无穷的时间里面积分还能得到有限的数，意味着这个信号总会有一个起点或者是终点，而不能无限延申下去

比如上面这样的周期信号，就不可能是能量信号了，因为它在 t = ∞ t=∞ t=∞ 的时候依然会有有幅值的地方，所以它的 E应该是无穷大。

也即是说：

结合上面的讨论，我们从能量信号和功率信号的角度把周期信号和非周期信号分分类： 【1】首先对于周期信号，那必然是功率信号（因为在可以无限延拓下去，所以能量无穷，但是因为周期信号的幅度一定是有限的，所以它功率是一定的）

【2】对于非周期信号，我们可以分为3类：

这个好理解： x ( t ) → x ( t − t 0 ) x(t)\to x(t-t_0) x(t)→x(t−t0​)，如果 t 0 t_0 t0​大于0，说明把信号向右平移。如果 t 0 t_0 t0​ 小于0，说明信号向左平移。下面用matlab 画一画：

x ( t ) x(t) x(t) 如果将他变成 x ( − t ) x(-t) x(−t)，就是相当于把 x ( t ) x(t) x(t) 沿着纵轴镜像对称翻折得到。

如果对连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t) 做尺度变换 x ( a t ) x(at) x(at)，有下面两种情况：