信号与系统课件21

1. 系统的复频域分析

- 微分方程的变换解

- 电路系统的复频域分析

- 系统函数和零状态响应的s域分析法

2. 电路系统的复频域分析

拉普拉斯变换不仅可以求解微分方程，还可利用电容、电阻、电感的VCR（电压电流关系），建立s域模型。并可直接利用KCL和KVL定律的s域模型，得到系统输出的象函数。

3. 基尔霍夫定律的s域形式（运算形式）

KCL：任意节点、任何时刻流入该结点的电流代数和为零

∑i(t)=0→∑I(s)=0

KVL：任意闭合回路上的总电压降为零。

∑u(t)=0→∑U(s)=0

4. RLC的s与模型

电感的s域模型可以表示为：①感抗与内部象电压源串联形式②感抗和内部象电流源并联形式。内部象电压源和象电流源由初始电流状态和电感决定。（注意s域的量纲）

电容的s域模型可以表示为：①容抗与内部象电压源串联形式②容抗与内部象电流源串联形式。内部象电压源与象电流源由初始电压状态和电容C决定。

分析：一端相连的互感线圈，通过三个端钮与外电路相连。在进行电路分析时，需将互感线圈转换为无互感等效电路。

（具体部分就不多说了，可以参照电路理论基础课程）

（信号与系统这里是对之前电路基础学的内容的一个总结深化）

5. 系统函数和零状态响应的s域分析法

线性时不变系统的一般表示（略）

零状态响应的复频域表示（略）

B(s)称为微分方程的特征多项式。

B(s)=0称为特征方程，根为特征根。

H(s)称为系统函数（或传递函数、网络函数），与初始状态无关，与输入也无关，仅由系统本身属性决定。

根据拉普拉斯变换的卷积定理，信号f(t)输入冲激响应为h(t)的系统时，输出yf(t)之间，及其拉普拉斯变换之间存在如下关系。

系统函数H(s)和h(t)可由s域电路拓扑结构和拉普拉斯反变换得到

由线性时不变系统的时域特性可知，当输入为exp(st)时，系统的零状态响应：yf(t)=exp(st)H(s)

表明：复指数信号的系统响应是相同复频率的复指数信号，输入输出由H(s)相联系，故exp(st)称为复频域的本征信号。

6. 系统的零极点和极零图

当系统函数为有理函数时，系统函数的属性可以由零点、极点和常系数A决定，即：H(s)=N(s)/D(s)=A prod(s-z_j)/prod(s-p_i)，其中N(s)、D(s)为复变量s的多项式。

系统的极点：H(s)分母多项式为零的根，即系统的特征根。

系统的零点：H(s)分子多项式为零的根。

若存在k个相同的零点/极点，则称为k阶零点/极点。

若H(s)代表的是实系统，即N(s)、D(s)的系数都是实数，那么H(s)的零点和极点要么是实数，要么是成对的共轭对称复数。

7. 系统的极零点和极零图

将极点（以“×”表示）、零点（以“o”表示）标记在复平面（s平面上），并标上阶数，称为极零点图。由拉氏变换定义可知，极点一定位于收敛域之外。

8. 系统的稳定性

稳定系统：当系统输入有界时，输出必须有界

|f(t)|≤Mf→|yf(t)|≤My

系统稳定的充要条件：单位冲激响应应绝对可积，即

int(|h(t)|,t,-inf,inf)≤M

系统稳定性是系统的固有属性，稳定系统必须能够使所有有界输入的情况下输出都是有界的。

稳定性与h(t)绝对可积等价。

9. 系统稳定性与极点位置的关系

由傅里叶变换的收敛性可知，对于有实际意义（极值点有限、断点有限）的信号。①冲激响应h(t)绝对可积；②傅里叶变换存在等价；③系统稳定与①h(t)绝对可积等价。这意味着，系统稳定与傅里叶变换存在等价。

而傅里叶变换存在。等价于H(s)|(s=jω)存在，即虚轴位于收敛域内。因此H(s)的收敛域包括虚轴等价于系统稳定。

也就是说，H(s)|(s=jω)=H(jω)=int(h(t)exp(-jωt),t,-inf,inf)

线性时不变系统稳定性→H(s)的ROC包含虚轴

10. 根据线性时不变系统函数确定稳定性：

维给出收敛域：需要分情况讨论其稳定性。

11. 系统的稳定性和因果性的关系。

因果系统不一定是稳定系统，稳定系统不一定是因果系统。

若因果系统的极点全部落在左半平面，该系统为稳定系统。

三个极点的实部均小于0，全部位于s平面的左半平面。因此，系统是稳定的。

由H(s)判断稳定性的方法：求出极点（特征方程的特征根）、再根据收敛域的情况，来判断稳定性、因果性。

12. 补充：含理想运算放大器的定量分析

理想运算放大器：

① 输入阻抗无穷大，输出电流为零。

② 接近于零的输出阻抗，输出可看做理想电压源。

③ 无限大的开回路增益，对输入端的差动信号有无限大的电压增益，通常工作在负反馈工作模式。

④ 无限大的共模排斥比，只放大电位差。

⑤ 无限大带宽，增益恒定（全通系统）。

13. 萨林基电路（略）