关于信号的一些思考和问题

1：函数

函数在未经过任何系统，且产生信号的信号源无记忆性，也就是说 t 时刻产生的信号对（t+△t）△t→0 产生的信号没有影响，满足以上条件下的信号在时域里（连续时域或者离散时域）一个时刻对应一个信号的数值（强度）前后没有联系（这样的信号源条件可能过于苛刻，但为了说明函数与系统的区别）

2：系统函数      满足上面条件的信号定义为 e(t),通过一个系统 h(t)，输出即所产生的响应为 r(t)。在理解 r(t)时对于在某一点t0 的响应不能局限于函数点对点的思维：表达式中的一个自变量对应于唯一个因变量

在理解 r(t)这一点响应时我们应该在时域里在某一点以过去的方向展开来看。在 t0 这一时刻的 r(t0),不仅仅是此时的 e(t0)的作用效果它还由 0→t0 这段时间内激励 e(t)对于 h(t)作用后余下的效果所叠加引起的。我们不妨具体到生活中感受一个理想化实例。

现在假设有有一个理想平静的水面且这个平面的无穷的，我们在一点依次扔下大小不同的石头。这里是假设一种特殊的情况，即每次石头落水都有响应即产生水波。以我们生活经验可以知道在扔下一块石头后水面会以石头落水这个点不断的向四周扩散水波（最终水波会因为外界阻力而消失。）当我们扔下第二块石头时假设前一块石头所引起的水波没有完全消失（在水面上看的某点水波强度，这一点对应于信号的某一点的信号输出 r(t0)的强度）那么在这一点的水波强度是第二块石头此时在观察点引起的水波强度加上上一块石头作用后余下效果的叠加。第三块，第四块，第 n 块石头在 tn 的水波强度（对应 r(tn)）是前（n-1）块石头在这一点余下的效果与第 n 块石头所引起的效果之和。由此我们可以联想到卷积的概念。

联系到模电，电路的课程知识，我们知道电路的三大基本元件，电阻（无记忆性元件），电容（记忆性元件），电感（记忆性元件），即使是双极性三极管，MOS 管在分析的时候也是等效成这三大元件分析。那么由这三大基本元件所构成的网络为 h(t)，在网络中加入激励 e(t),为了便于理解让所加激励是不连续的是一个个时间点对 h(t)的作用，对于每一个时间点对于电网 h（t）内部都会可能会产生影响，电容的充放电（电容电压是不能突变的），电感的变化（电感电流是不能突变的）。这一切的变化最终体现在输出   r（t）上。假设在观察时间点 t1 处电容，电感由 t0 时刻的影响还未消失（即电容 C 电压，电感 L 电流还未趋于稳定状态），t1 时刻给的激励 e（t1）。除第一次激励外以后的激励就显得特殊，以 t1 点为例，因为它是建立在 t0 时刻的激励对电网 h（t）的影响还未完全消失状态下加的激励。那么 t1 时刻系统的响应为：e （t1）瞬时对电路的影响 + e(t)作用于 h(t)经历了 t0 时间点后剩下的效果。由此作用下，R,L,C 在 t1 时刻的参数共同作用输出 r（t1）。同理 R（t）在 t=tn 时刻的输出为前 0→tn 时间段余下的效果与 tn 时刻作用于网络的效果叠加。即联系到离散时间系统的卷积。

①：信号中所见到的零输入响应对应具体的电路模型上是在 0 时刻这一参考点之前所有的激励作用于系统的余下效应。

②：零状态响应是参考点（加入激励这一点）之前电路无输出即状态为 0,外加激励电路的响应。

③：冲激响应：暂时没找到对应的特殊电路情况。

④：阶跃响应：同上。

⑤：系统稳定问题:就必须保证网络在无激励时或者在在之前有激励产生的电路效果，在无激励输入时，电网h（t）对剩下的效果不能永久性地让它维持下去，电网无源（不知道这样说到底准不准确），或者在特殊情况下有源网络不对此时电路供能。这样电路必然含有电阻消耗能量，根据能量守恒定律，在经历一段时间后输出必然为0即电路达到稳定状态。

⑥：因果系统：对应到电路上因为是所引发的激励才引起电路基本元件参数的变化，即先有输入后有输出，输出不能出现在输入之前。可以这样想一下如果电路没有在外界信号或者系统内部的状态变化（对于自身变化来说这也是一个信号）作用，电路不可能凭空发生变化。因此对应于输出在输入之前发生的非因果系统在实际电路上是不可实现的。

一直以来我想是许多学习信号的同学也一样，对傅里叶变换我们可能知道傅里叶变换规则，但我们不知道为什么要进行傅里叶变换，纯粹地当成了一门工具（其实也确实是一门计算工具，但是它的变换思想我想给我们信号的处理带来极大的方便）。为此想问为什么要在时域的的信号去对应到频域上？这其实是两个问题。（为什么要到频域，频域是什么）

曾经在学习信号与线性系统时在时域分析系统响应时，往往花很少时间去讲（相对频域，S 域而言）一方面可能是因为有高数课上我们已经学会微分方程求解，通过特征根及初始条件求得通解（瞬态响应），特解（稳态响应），全响应为二者之和，学习起来相对容易；另一方面也就是最重要的一个原因是我们在解决三阶及其以上的微分方程求解时特征根的求解就十分麻烦，更高阶的可能不借助计算机等辅助计算工具就求不出来。

   虽然欧式几何空间已经不能为这奇葩的微分方程提供高效的计算工具和方法，那就得另辟蹊径。

核心思想还是信号分解成不同频率的成分，每一个成分对于系统 h(t)它都有一个特有的频率响应结果，最后把所有分量响应叠加就是最终要求的系统响应。而频域的这种做法要比时域方便很多！虽然一些公式推导由于能力有限没有给出，但是里面的比较重要的思想有一定的理解（虽然暂时还不知道一些地方解释的是否得当）卷积的意义以及频域的分析有了一个全新的认识。

                                                                                                                                      （ 以上公式参考 《 信号 与线性系统分析 》 吴大正）