OFDM （Orthogonal frequency-division multiplexing， 正交频分复用） 技术，是4G LTE系统中的最核心技术之一， 其最核心的优势是可以很好地应对多径干扰。 随着5G时代的到来， 6G也被提上议程。 通信系统在未来势必往着速率更快， 带宽更高的方向发展， 而OFDM技术作为应对宽带场景的最有效手段， 必定不会缺席。 看了下目前网络上没有太好的OFDM的讲解， 许多博主把这本应浅显的技术， 用一堆生涩的数学表达式弄得生怕读者看懂， 实在是辜负了OFDM这样一项优雅而简洁的技术。 于是，借此写一篇OFDM最简单的讲述， 既分享给大家， 也分享给自己。 如有错误，望不吝赐教。为了讲述OFDM的前世今生， 以面向任何基础的读者， 本文涵盖了前因后果可能略显冗长， 读者自行选择跳过即可。 希望对你有些许的裨益， 也不算浪费了时间。

在通信中， 经常被提到的一个概念就是 窄带和宽带。 这个概念其实很简单， 我给大家举个例子就可以明白了：

这是两个极为简单的例子。 接下来请注意：窄带系统的定义其实是不对的——即使在房间中， 信号也是会通过多条径叠加——从我口中说出直接到达你耳朵的路径， 从口中说出通过墙面反射后到达你耳朵的路径…， 但相比于山谷显著的回声，房间里你听起来就像是只有一条路径呢？

因为山谷场景中， 两条路径： 我–>你 和 我–>山谷–>你 的距离差距很大， 也就是时延相差很大， 因此给了你多径干扰的感觉。而在房间中， 两条路径： 我–>你 和 我–>墙–>你 的距离差引起的时延较小， 在耳朵听起来几乎是同时到达的， 于是就等效的如同只有一条径一样。

OK， 现在我们通过这个例子来总结下，给一个较为严谨的定义：

许多时候， 也有人以 多径系统指代宽带系统， 单径系统指代窄带系统。 这里其实需要注意的就是窄带系统不一定只有一条径， 只是系统中的多条径在时间上几乎是没有延迟的， 可以看做在接收端叠加， 也就可以把多条径等效为一条径了。用数学语言来表述， 就是宽带系统中输入与输出和信道是卷积的关系， 而窄带系统中则是直接乘积的关系。仍以上面的两个例子来说： 窄带系统（房间模型中）， 设 我->你的信道为 h 0 h_0 h0​, 我->墙壁->你的信道为 h 1 h_1 h1​， 我在不同时刻说的话（发送的符号为）按时间顺序为： x 0 x_0 x0​， x 1 x_1 x1​，… ， 那么你第一时刻收到的信号为： y 0 = h 0 x 0 + h 1 x 0 = h ^ x 0 y_0 = h_0x_0 + h_1x_0 = \hat{h}x_0 y0​=h0​x0​+h1​x0​=h^x0​ 由于两条路径没有任何时延， 因此可以认为同时到达， 也就是直接相加（叠加）。 那么我们可以把这两条没有时延的信道当做一条等效的信道 h ^ \hat{h} h^, 这不就是单径系统了嘛。 同理，第二时刻收到的信号为： y 1 = h 0 x 1 + h 1 x 1 = h ^ x 1 y_1= h_0x_1 + h_1x_1 = \hat{h}x_1 y1​=h0​x1​+h1​x1​=h^x1​.

现在来看宽带场景（山谷模型）， 同样，我->你的信道为 h 0 h_0 h0​, 我->山谷->你的信道为 h 1 h_1 h1​， 假设 h 1 h_1 h1​和 h 0 h_0 h0​之间的时延刚好就是一个码元周期（我说一个符号的时间），那么第一时刻收到的信号为： y 0 = h 0 x 0 y_0 = h_0x_0 y0​=h0​x0​ 此时山谷的回声还没到达， 它将在第二时刻到达，产生干扰： y 1 = h 0 x 1 + h 1 x 0 y_1 = h_0x_1 + h_1x_0 y1​=h0​x1​+h1​x0​ 这就是多径干扰。 用卷积来表示，这个系统可以表示为： y n = ∑ i = − ∞ ∞ x i h n − i y_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty} x_i h_{n-i} yn​=i=−∞∑∞​xi​hn−i​ 也就是著名的卷积形式, 同一时刻的接收信号中，同时含有了多个时刻的发送信号， 不可避免的带来了多径干扰， 因此宽带系统是比窄带系统更难处理的。

OK, 言至于此， 概念非常简单， 但是， 为什么要把这个看上去是时间上的概念称之为窄带和宽带呢？ 这和刚刚的阐释在语文上不能说没有联系，但可以算是毫不相关。 不要急， 还没说完：

回顾下奈奎斯特第一准则（因为实际传输都是带通系统，直接看带通形式）：

理想带通信道的最高码元传输速率= 1 W 1W 1W Baud. 其中， W W W代表带宽， Baud是码元传输的单位波特， 1 1 1 Baud 代表一秒传输一个码元。

因此： 传输的带宽和码元的周期互为倒数关系。比如一个 10 K 10K 10K传输带宽的系统，一秒最多传输 10 K 10K 10K个码元， 码元周期就是 100 μ 100\mu 100μ秒。 有了这个结论， 现在对一个场景， 如果有两条传播路径，其路程差为 300 300 300米， 由于电磁波的传输速度为光速 3 × 1 0 8 m / s 3\times10^8m/s 3×108m/s， 那么两条信道的时间差就是 1 μ 1\mu 1μ秒。 可以看到， 这个时间差相比于码元周期非常小， 可以近似认为两条路径是同时到达的， 那么这就是我们上文提到的窄带系统。 （正如房间模型中， 两条路径的传播速度差远小于我的语速）。 但如果对于一个 1 M 1M 1M传输带宽的系统， 码元周期就是 1 μ 1\mu 1μ秒。 这时， 同样是这个两径场景， 两条信道的时间差 1 μ 1\mu 1μ秒就和码元周期是一个数量级的了， 这就是宽带系统。 （正如山谷模型中， 两条路径的延时刚好是一个码元周期）。

现在， 窄带和宽带系统名字的由来呼之欲出了 —— 对于相同的场景， 相同的时延， 传输带宽不同， 决定了系统到底有没有多径干扰。

之前的举例中， 山谷模型和房间模型的区别在于时延不同，因此即使传输带宽相同（相同的说话语速）， 两者仍迥异地分别体现为宽带和窄带系统。 而在实际无线通信系统中， 由物理环境决定的时延是固定的， 而不同的带宽（传输速率）决定了宽带或窄带系统——这也很符合我们的直觉， 传输较慢的窄带系统， 几乎没有多径干扰。 而传输较快的宽带系统， 就会有明显的多径干扰影响。 仍然是上文的这个场景， 假如系统中两条信道的时间差为 1 μ 1\mu 1μ秒， 那么我们可以认为， 大于 10 μ 10\mu 10μ秒的码元周期， 可以认为系统仍是一个窄带系统（即多条径仍近似于同时到达）。 而 10 μ 10\mu 10μ秒的码元周期对应于 100 K 100K 100K的传输带宽， 那么 100 K 100K 100K就被称为是这个系统（这个物理场景）的相干带宽。 当带宽小于相干带宽（如 10 K 10K 10K）， 系统就是一个窄带系统。 当带宽大于相干带宽时( 1 M 1M 1M）， 系统就是一个宽带系统。

宽带信道也被称为 频率选择性信道。

码元周期大于最大信道时延（不需要远大于）的时候， 可以通过在码元前面补前缀（比如补零）的方式来抵消信号间干扰。 （InterSymbol Interference， ISI）

实际中不一定以 10 μ 10\mu 10μ秒作为相干带宽对应的码元周期，这里只是为了大家方便理解举的例子。 具体的相干带宽是多少还是以更准确的信道建模的论文及实际应用场景为准。

所以， 顾名思义：

随着5G的到来， 人们对传输速率的要求越来越高， 带宽不可避免地越来越大。 这也就意味着， 在未来的通信系统中（毫米波， 太赫兹频段）， 系统模型基本上都会是一个宽带模型。

(这是不是全网最简单的窄带与宽带的介绍呢？为了达到最简介绍的要求， 摈弃了 抽头等极不形象的概念， 大家想要深入理解的请务必参阅David Tse 或Gold Smith的无线通信基础书籍。)

请务必确保自己理解了本节的窄带和宽带的概念， 再阅读后续的段落。

有了窄带和宽带的概念， 我们知道， 为了追寻更高传输速率所需的更大的传输带宽， 使得未来的通信系统基本都体现为宽带系统。 而宽带中， 由于多径时延，会造成明显的信号间干扰 （某一时刻的接收信号同时含有多个时刻的发送信号成分）。相比于窄带系统， 宽带系统要难处理得多。

那么， 该如何应对呢？ 解决思路既简单又清晰：

宽带系统不好处理， 我们就换成窄带系统呗。 传输的太快有干扰， 我们就传地慢一点呗。传输的速率达不到要去？我们频分复用呗。

前两句话其实是一个意思：既然传输速度太快的宽带系统中的多径干扰太难处理， 那我们就返璞归真地传慢一点不就可以了吗， 那不就是一个窄带系统了？ 那如何达到用户要求的高速传输呢， 这就要引出我们频分复用的概念。

大家是否弹过钢琴或吉他呢？ 举一个例子， 我们知道有 哆 来 咪 发 唆 拉 西 这样 的音符。 同一时刻， 我们可以只弹 哆 一个音， 也可以同时弹奏 哆 来 咪 三个音。 按通信的理解， 相同的时间， 前者只传输了1个符号， 后者传输了3个符号。 这就是频分复用： 相同的时间， 通过频率的不同（音符的不一），我可以传输多个符号。

如何实现频分复用呢？ 这里就需要引出多载波调制的概念。

令 g ( t ) g(t) g(t) 为成型滤波函数， 如果我们要在同一时间同时传输 N N N个信号， 我们可以将 N N N个信号调制到不同频率的载波上（每个载波也被称为 子载波），对应的载波频率分别为 2 π f i t + ϕ i 2 \pi f_{i} t+\phi_{i} 2πfi​t+ϕi​，然后加在一起：

s ( t ) = ∑ i = 0 N − 1 s i g ( t ) cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) s(t)=\sum_{i=0}^{N-1} s_{i} g(t) \cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) s(t)=i=0∑N−1​si​g(t)cos(2πfi​t+ϕi​)

为使得推导更加简洁易懂，后续的推导中去掉了成型滤波器 g ( t ) g(t) g(t)一项。 然而， 这并不影响对载波正交性的分析。

这样， 一个码元 s ( t ) s(t) s(t)里同时包括了 N N N个信号 s 0 , … , s N − 1 s_0,\dots, s_{N-1} s0​,…,sN−1​的信息。 然后在接收端，我们可以从 s ( t ) s(t) s(t)中恢复出这 N N N个信号。例如：

s ( t ) cos ⁡ ( 2 π f 0 t + ϕ 0 ) = ∑ i = 0 N − 1 s i cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) cos ⁡ ( 2 π f 0 t + ϕ 0 ) s(t) \cos \left(2 \pi f_{0} t+\phi_{0}\right)=\sum_{i=0}^{N-1} s_{i} \cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) \cos \left(2 \pi f_{0} t+\phi_{0}\right) s(t)cos(2πf0​t+ϕ0​)=i=0∑N−1​si​cos(2πfi​t+ϕi​)cos(2πf0​t+ϕ0​) 那么， 根据积化和差公式：

cos ⁡ α cos ⁡ β = 1 2 [ cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) ] ， \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]， cosαcosβ=21​[cos(α+β)+cos(α−β)]， 我们有： cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) cos ⁡ ( 2 π f 0 t + ϕ 0 ) = 1 2 [ cos ⁡ ( 2 π ( f i + f 0 ) t + ϕ i + ϕ 0 ) + cos ⁡ ( 2 π ( f i − f 0 ) t + ϕ i − ϕ 0 ) ] , \cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) \cos \left(2 \pi f_{0} t+\phi_{0}\right) = \frac{1}{2}[ \cos \left(2 \pi (f_{i} + f_0) t+\phi_{i} + \phi_0\right) + \cos \left(2\pi(f_i-f_0)t+\phi_{i} - \phi_0\right)], cos(2πfi​t+ϕi​)cos(2πf0​t+ϕ0​)=21​[cos(2π(fi​+f0​)t+ϕi​+ϕ0​)+cos(2π(fi​−f0​)t+ϕi​−ϕ0​)],

在接收端我们会将一个码元周期 T T T内接受的信号进行积分， 来过滤掉其他频率载波的信号， 即使得：

为阐述简单， 暂时不考虑衰落信道， 读者可以理解为信道为1.

∫ 0 T cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) cos ⁡ ( 2 π f 0 t + ϕ 0 ) d t = { 0 i ≠ 0 T 2 i = 0 \int_0^{T}\cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) \cos \left(2 \pi f_{0} t+\phi_{0}\right) dt=\left\{\begin{array}{ll} 0 & i\neq 0 \\ \frac{T}{2} & i=0 \end{array}\right. ∫0T​cos(2πfi​t+ϕi​)cos(2πf0​t+ϕ0​)dt={02T​​i​=0i=0​ 显然， 使得上式成立的条件就是 ∣ f i − f 0 ∣ = k T , k = 1 , 2 , … |f_i - f_0|=\frac{k}{T}, k=1,2, \dots ∣fi​−f0​∣=Tk​,k=1,2,…。

如果 ϕ i = ϕ 0 \phi_i = \phi_0 ϕi​=ϕ0​, 成立的条件为 ∣ f i − f 0 ∣ = k 2 T , k = 1 , 2 , … |f_i - f_0|=\frac{k}{2T}, k=1,2, \dots ∣fi​−f0​∣=2Tk​,k=1,2,…。

可以看到， 这样我们就得到了一组正交载波, 因此可以很轻松地恢复出 s 0 s_0 s0​： ∫ 0 T s ( t ) d t cos ⁡ ( 2 π f 0 t + ϕ 0 ) = ∫ 0 T ∑ i = 0 N − 1 s i cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) cos ⁡ ( 2 π f 0 t + ϕ 0 ) d t = T 2 s 0 . \int_0^{T}s(t)dt \cos \left(2 \pi f_{0} t+\phi_{0}\right)=\int_0^{T}\sum_{i=0}^{N-1} s_{i} \cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) \cos \left(2 \pi f_{0} t+\phi_{0}\right)dt=\frac{T}{2}s_0. ∫0T​s(t)dtcos(2πf0​t+ϕ0​)=∫0T​i=0∑N−1​si​cos(2πfi​t+ϕi​)cos(2πf0​t+ϕ0​)dt=2T​s0​. 同样地， 再把 s ( t ) s(t) s(t)分别与 cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) \cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) cos(2πfi​t+ϕi​)相乘， 就能从 s ( t ) s(t) s(t)中分离出 s i s_i si​。

我们用goldsmith书中的多载波调制框图来总结下：

发射机部分的发送调制：

很显然， 这就是我们一开始提到的，最后的发送信号 s ( t ) = ∑ i = 0 N − 1 s i g ( t ) cos ⁡ ( 2 π f i t + ϕ i ) s(t)=\sum_{i=0}^{N-1} s_{i} g(t) \cos \left(2 \pi f_{i} t+\phi_{i}\right) s(t)=i=0∑N−1​si​g(t)cos(2πfi​t+ϕi​) 的具体物理实现。

接收机解调部分：

其中的Demodulator模块可以理解为就是刚刚说的对码元周期进行积分的步骤。

至此， 再来回顾一下：

刚刚提到的满足载波间相互正交的条件是： ∣ f i − f 0 ∣ = k T , k = 1 , 2 , … |f_i - f_0|=\frac{k}{T}, k=1,2, \dots ∣fi​−f0​∣=Tk​,k=1,2,…。 显然，频带利用率最高的方案就是，每两个相邻子载波的之间的频率差为 1 T \frac{1}{T} T1​， 即每个子载波占的带宽 b = 1 T b = \frac{1}{T} b=T1​ （理想成型滤波器）。 从每个子载波来看， 就是一个带宽为 1 T \frac{1}{T} T1​, 传输速率为 1 T \frac{1}{T} T1​ baud 的单载波系统 (因为码元周期对于每个子载波而言都是 T T T， 这也就是奈奎斯特第一准则的结论）。 现在，我们来比较 多载波调制和单载波调制 对于带宽为 B B B的系：

可以清晰地看到， 相比于单载波调制， 多载波调制在码元周期变为 N B \frac{N}{B} BN​的情况下（单载波场景的 N N N倍），没有改变系统的总速率。 不考虑多载波调制尚未被提到的缺陷， 其相比于单载波调制的优越性是非常明显的：

后面的OFDM系统中的循环前缀，能更彻底地解决多径的干扰问题。