加密是以某种特定的算法，改变原有的数据信息，使得未授权的用户即使获得了加密后的数据，但因不知解密的方法（确切的说是不知道密钥），仍然无法了解其信息内容。而解密则是加密的逆过程。

    我们称尚未加密的数据为明文，通过固定算法加密后的数据为密文。下面两个图分别为加密和解密的过程。

    密钥是一种参数，它是在明文转换为密文或密文转换为明文时算法的输入参数。可以理解成密码的钥匙。

    常见的数字加密方式分为两类：对称加密 和 非对称加密。

    对称加密算法中，数据发送方将明文和密钥一起经过特殊加密算法处理成密文后，将它发送出去。接收方收到密文后，若想解读原文，则需要使用加密用到的相同密钥及相同算法的逆算法对密文进行解密，才能使其恢复成原文。     它的最大优势是加/解密速度快，适用于大数据量进行加密，缺点是密钥管理困难，最典型的问题就是如何同步这个密钥，同步过程如果在公网上，不进行加密是可以抓包拿到的，那么这里就遇到了要对密钥加密的问题。    常见的对称加密算法有 AES、DES、Blowfish 等等。    对称加密的核心是只有一把密钥。

    非对称加密算法中，有两个密钥：公钥和私钥。它们是一对，如果用公钥进行加密，只有用对应的私钥才能解密；如果用私钥进行加密，只有用对应的公钥才能解密。    非对称加密算法实现机密信息的交换过程为：甲方生成一对密钥并将其中一个作为公钥向其他方公开；得到该公钥的乙方使用该密钥对机密信息进行加密后发送给甲方；甲方再用自己的另一个专用密钥对加密后的信息进行解密。    最有名的非对称加密算法当属 RSA 了，本文将对 RSA 算法的加/解密过程进行详细剖析。    非对称加密拥有两把密钥。

    算法本身基于一个简单的数论知识：给出两个素数，很容易将它们相乘，然而给出它们的乘积，想得到这两个素数就显得尤为困难。如果能够解决大整数（比如几百位的整数）分解的快速方法，那么 RSA 算法将轻易被破解。

    对于明文 x，用公钥 (n,e) 对 x 加密的过程，就是将 x 转换成数字（字符串的话取其 ASCII码或者 unicode 值），然后通过幂取模计算出 y，其中 y 就是密文；

y = x^e \ mod \ n \\

    对于密文 y，用私钥 (n,d) 对 y 进行解密的过程和加密类似，同样是计算幂取模；

x = y^d \ mod \ n \\

    根据加密算法得到的密文 y，一定满足如下等式：

y = x^e \ mod \ n \\

    这种情况，我们主要用欧拉定理就可以证明，证明过程如下：

\begin{aligned} y^d \ mod \ n &= x^{ed} \ mod \ n & (1)\\ &= x^{km+1} \ mod \ n & (2)\\ &= (x^m \ mod \ n)^k x \ mod \ n & (3)\\ &= (x^{\phi(n)} \ mod \ n)^k x \ mod \ n & (4)\\ &= x \ mod \ n & (5) \end{aligned} \\

    当 x 和 n 不互素时，由于 n = pq，所以 x 要么是 p 的倍数，要么是 q 的倍数，但是不可能同时是两者的倍数，因为这样一来，x^e \ mod \ n = 0，就无法加密了。    那么，我们假设 x = x'p，这里显然 gcd(x, q) = 1，并且可以得到 qx \ mod \ n = 0    根据欧拉定理，有：

x^{\phi(q)} \equiv 1 (mod \ q) \\

    由于 ed \ mod \ m = 1，所以我们可以令 ed = km + 1 = k\phi(p)\phi(q) + 1    对欧拉定理的同余式两边同时乘上 k\phi(p)，则有：

x^{k\phi(p)\phi(q)} \equiv 1 (mod \ q) \\

则：

x^{k\phi(p)\phi(q)} = iq + 1 \\

    于是可以推导出如下等式：

\begin{aligned} y^d \ mod \ n &= x^{ed} \ mod \ n & (1)\\ &= x^{km+1} \ mod \ n & (2)\\ &= x^{k\phi(p)\phi(q)}x \ mod \ n & (3)\\ &= (iq+1)x \ mod \ n & (4)\\ &= (iqx + x) \ mod \ n & (5)\\ &= x \ mod \ n & (6) \end{aligned} \\

    最后来看下 RSA 算法为何安全，全程六个数字：

p、q、n、\phi(n)、e、d \\    而对于外界来说，知道的只有公钥 (n, e)，如何通过这两个已知数得到明文？

    综上所述，破解 RSA 的难点在于对 n 的因数分解，然而大整数的因数分解暂时没有高效的算法。