一般的，称 x ∗ x^* x∗为准确值 x x x的一个近似值，可定义以下两种常用误差:

绝对误差（简称误差）: e ( x ∗ ) = x − x ∗ e(x^*)=x-x^* e(x∗)=x−x∗ 为方便起见，取其一上界 ϵ \epsilon ϵ使满足 ∣ x − x ∗ ∣ ≤ ϵ |x-x^*|\le\epsilon ∣x−x∗∣≤ϵ（这个上界不唯一），由此我们最常见的误差写法就可写成 x = x ∗ ± ϵ x=x^*\pm\epsilon x=x∗±ϵ，即准确值 x x x必在区间 [ x ∗ − ϵ , x ∗ + ϵ ] [x^*-\epsilon,x^*+\epsilon] [x∗−ϵ,x∗+ϵ]内。

考虑真值本身的数量大小，相对误差是衡量精度的更好指标，定义为： e r ( x ∗ ) = x − x ∗ x e_r(x^*)=\frac{x-x^*}{x} er​(x∗)=xx−x∗​，相似的，我们亦可取一个上界为 ϵ r \epsilon_r ϵr​，称之为相对误差限。

误差的传播系指分析在形如 y = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y=f(x_1,x_2,...,x_n) y=f(x1​,x2​,...,xn​)的关系中，参量误差对变量误差的影响有多大。误差的传播与函数的微分紧密相关，本质是在利用当 Δ x \Delta x Δx不大时， Δ y ≈ ∂ f ∂ x Δ x \Delta y\approx \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x Δy≈∂x∂f​Δx。 若 f f f在 ( x 1 ∗ , . . . x n ∗ ) (x^*_1,...x^*_n) (x1∗​,...xn∗​)可微，则不难得到: 这实际上就是一阶泰勒展开。多变量泰勒公式为： f ( x ) = f ( a ) + ∇ f ( a ) ⋅ ( x − a ) + . . . f(x)=f(\bf{a})+\nabla{f(\bf{a})\cdot(\bf{x}-\bf{a})}+... f(x)=f(a)+∇f(a)⋅(x−a)+... 移项，令 a \bf a a为 ( x 1 ∗ , . . . x n ∗ ) (x^*_1,...x^*_n) (x1∗​,...xn∗​)并带入 e ( x ∗ ) = x − x ∗ e(x^*)=x-x^* e(x∗)=x−x∗， e ( y ∗ ) = y − y ∗ e(y^*)=y-y^* e(y∗)=y−y∗即可得误差公式。 按照上面的式子求导，可给出最常见 和 差 积 商 误差公式： 相应的，误差限可如下给出：

仍考虑形如 y = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y=f(x_1,x_2,...,x_n) y=f(x1​,x2​,...,xn​)的关系，方差传播既是通过 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1,x_2,...,x_n) (x1​,x2​,...,xn​)的不确定度分析 y y y的不确定度。该问题有时也称为方差的合成。

对于简单的函数关系（如加减等），这个方差传播既可用“随机变量函数的分布”这一手段予以求解。即已知随机变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)的分布。这是本科概率统计课程的经典内容，不再赘述，通过累次积分可处理形如 Z = X + Y Z=X+Y Z=X+Y这类简单形式的概率密度，之后便可求均值方差等所有统计量。

对绝大多数函数，尤其是非线性函数，一般只能寻求其期望和方差的近似求法。这里解决问题的工具依旧是泰勒展开。 先考虑简单的一维情形：设随机变量 X X X，其期望和方差分别为 μ , σ 2 \mu,\sigma^2 μ,σ2，变量 Y = g ( X ) Y=g(X) Y=g(X)是其函数。则有： 证明此关系只需将 Y Y Y在 μ \mu μ处局部线性化即可。 相似的，方差公式的证明可进行一阶展开后得到。虽避免了求积分，但此处导数往往也得不到解析解，可通过数值差分近似导数得到（一般倾向于使用中心差分公式）。

再看二维情形。一维到二维是一个质变，从两个变量开始，变量相关性和协方差的概念被引入。设随机变量向量 [ X , Y ] T [X,Y]^T [X,Y]T中的变量 X , Y X,Y X,Y的期望，方差分别为 μ x , μ y , σ x 2 , σ y 2 \mu _x, \mu _y, \sigma _x^2, \sigma _y^2 μx​,μy​,σx2​,σy2​，并设二元函数 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)。则仍仿照上面单变量的方法，将 Z Z Z在自变量期望处进行局部线性化然后两边同取期望/方差即可，只不过换为了多变量的泰勒展开。 注： 多变量泰勒展开 更常见的是向量形式： 最后结果是： 可以看到依赖于变量的协方差。 除了上面直接将函数局部线性化的方法，亦可以使用类似“自底向下”的方法，从方差原始定义入手得到上面的结果。 仍设随机变量 X X X及其一组观测 { X 1 , X 2 , . . . X n } \{X_1,X_2,...X_n\} {X1​,X2​,...Xn​}, Y Y Y及其一组观测 { Y 1 , Y 2 , . . . Y n } \{Y_1,Y_2,...Y_n\} {Y1​,Y2​,...Yn​}，他们的期望，方差分别为 μ x , μ y , σ x 2 , σ y 2 \mu _x, \mu _y, \sigma _x^2, \sigma _y^2 μx​,μy​,σx2​,σy2​，二元函数 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)。 则按方差定义 σ Z = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( Z i − Z ˉ ) 2 \sigma_Z=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(Z_i-\bar Z)^2} σZ​=n−11​i=1∑n​(Zi​−Zˉ)2

通过对 Z = g ( X , Y ) Z=g(X,Y) Z=g(X,Y)在期望处求一阶泰勒展开，可知 Z i − Z ˉ = ( X i − X ˉ ) ∂ g ∂ X + ( Y i − Y ˉ ) ∂ g ∂ Y Z_i-\bar Z=(X_i-\bar X)\frac{\partial g}{\partial X}+(Y_i-\bar Y)\frac{\partial g}{\partial Y} Zi​−Zˉ=(Xi​−Xˉ)∂X∂g​+(Yi​−Yˉ)∂Y∂g​带回上式，并带入协方差定义： c o v ( X , Y ) = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) ( Y i − Y ˉ ) cov(X,Y)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) cov(X,Y)=n−11​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)(Yi​−Yˉ)

可化简得：

σ Z 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n [ ( X i − X ˉ ) ∂ g ∂ X + ( Y i − Y ˉ ) ∂ g ∂ Y ] 2 \sigma_Z^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}[(X_i-\bar X)\frac{\partial g}{\partial X}+(Y_i-\bar Y)\frac{\partial g}{\partial Y}]^2 σZ2​=n−11​i=1∑n​[(Xi​−Xˉ)∂X∂g​+(Yi​−Yˉ)∂Y∂g​]2

= σ x 2 ( ∂ g ∂ X ) 2 + σ y 2 ( ∂ g ∂ Y ) 2 + 2 c o v ( X , Y ) ∂ g ∂ X ∂ g ∂ Y =\sigma_x^2(\frac{\partial g}{\partial X})^2+\sigma_y^2(\frac{\partial g}{\partial Y})^2+2cov(X,Y)\frac{\partial g}{\partial X}\frac{\partial g}{\partial Y} =σx2​(∂X∂g​)2+σy2​(∂Y∂g​)2+2cov(X,Y)∂X∂g​∂Y∂g​

写成向量形式即为： σ Z 2 = J Σ J T \sigma_Z^2=J\Sigma J^T σZ2​=JΣJT

其中 J = [ ∂ g ∂ X , ∂ g ∂ Y ] J=[\frac{\partial g}{\partial X},\frac{\partial g}{\partial Y}] J=[∂X∂g​,∂Y∂g​]为Jacobian matrix, 中间 Σ \Sigma Σ是协方差矩阵 一些计算实例： 对于线性函数和二次函数, 由于其二阶以上各阶导数为0, 近似计算公式与严密计算公式等价。对于非线性更强的函数，由于我们是以期望为中心展开的， X i X_i Xi​很多时候并不在展开点 X ˉ \bar X Xˉ“附近”，会有不小的误差，可适时地考虑使用蒙特卡洛模拟暴力计算得到更优的结果。 一个常被用于测试的强非线性函数是 Z = X e Y Z=Xe^Y Z=XeY，图像长这样：

当上面问题中的函数值域亦是多维的，方差传播就升格为协方差传播。 先看线性情形，设多维随机变量X: 设 Z = [ k 1 , k 2 , . . . , k n ] X + k 0 Z=[k_1,k_2,...,k_n]X+k_0 Z=[k1​,k2​,...,kn​]X+k0​为 X X X的一线性函数，根据前面方差传播的知识可知有： E ( Z ) = K μ x + k 0 ; D Z Z = K D X X K T E(Z)=K\mu_x+k_0 ; D_{ZZ}=KD_{XX}K^T E(Z)=Kμx​+k0​;DZZ​=KDXX​KT

将其中的 Z Z Z扩展到多维，即设 Z = [ z 1 , z 2 , . . . , z t ] T Z=[z_1,z_2,...,z_t]^T Z=[z1​,z2​,...,zt​]T，其中每个 z i z_i zi​均是 X X X的线性函数（ z i = [ k i , 1 , . . . , k i , n ] X i z_i=[k_{i,1},...,k_{i,n}]X_i zi​=[ki,1​,...,ki,n​]Xi​） 那么对: Z = K X + K 0 Z=KX+K_0 Z=KX+K0​

其中 K K K为 t ∗ n t*n t∗n矩阵， K 0 K_0 K0​为 t ∗ 1 t*1 t∗1矩阵，依旧有相同的结论： E ( Z ) = K μ x + k 0 ; D Z Z = K D X X K T E(Z)=K\mu_x+k_0 ; D_{ZZ}=KD_{XX}K^T E(Z)=Kμx​+k0​;DZZ​=KDXX​KT

只不过这里 D Z Z D_{ZZ} DZZ​升格为了 t ∗ t t*t t∗t矩阵，称之为协方差传播。 若另有Y： 并有关于 Y Y Y的函数 W = F Y + F 0 W=FY+F_0 W=FY+F0​，则相似的可获知一系列关系常用协方差传播律： D Z Z = K D X X K T D_{ZZ}=KD_{XX}K^T DZZ​=KDXX​KT D W W = F D Y Y F T D_{WW}=FD_{YY}F^T DWW​=FDYY​FT D Z W = K D X Y F T D_{ZW}=KD_{XY}F^T DZW​=KDXY​FT D W Z = F D Y X K T D_{WZ}=FD_{YX}K^T DWZ​=FDYX​KT

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