> 在本章中，我们将学习使用Python的数字滤波器。我们介绍了滤波器的类型（FIR/IIR和低通/高通/带通/带阻），滤波器如何以数字方式表示，以及如何设计它们。最后，我们将介绍脉冲整形，我们将在脉冲整形一章中进一步探讨。

滤波器用于许多学科。例如，图像处理大量使用 2D 滤镜，其中输入和输出是图像。在DSP中，滤波器主要用于： 1、分离已组合的信号（例如，提取所需的信号） 2、接收信号后消除多余噪声 3、恢复以某种方式失真的信号（例如，音频均衡器是一个滤波器） 您可能认为我们只关心数字滤波器;毕竟，本教程探讨了DSP。但是，重要的是要知道许多滤波器都是模拟的，例如SDR中放置在接收侧模数转换器（ADC）之前的滤波器。下图将模拟滤波电路的原理图与数字滤波算法的流程图并置。

滤波器有四种基本类型：低通、高通、带通和带阻。每种类型都会修改信号以专注于其中的不同频率范围。下图演示了如何针对每种类型过滤信号中的频率，首先仅显示正频率（更易于理解），然后还包括负频率。

每个滤波器都允许某些频率从信号中保留，同时阻止其他频率。滤波器允许通过的频率范围称为“通带”，“阻带”是指被阻挡的频率范围。在低通滤波器的情况下，它通过低频并阻挡高频，因此0 Hz将始终在通带中。对于高通和带通滤波器，0 Hz将始终处于阻带中。 不要将这些滤波类型与滤波算法实现（例如，IIR 与 FIR）混淆。到目前为止，最常见的类型是低通滤波器（LPF），因为我们经常在基带上表示信号。LPF 允许我们过滤掉信号“周围”的所有内容，消除多余的噪声和其他信号。

对于我们将看到的大多数滤波器（称为FIR或有限脉冲响应类型滤波器），我们可以用单个浮点数组表示滤波器本身。对于频域对称的滤波器，这些浮点数将是真实的（相对于复数）。我们将这种浮点数组称为“过滤器抽头”（filter taps）。我们经常使用 h 作为过滤器抽头的符号。下面是一组过滤器抽头的示例，它们定义了一个过滤器：

为了了解如何使用滤波器，让我们看一个例子，我们将SDR调谐到现有信号的频率，并希望将其与其他信号隔离。请记住，我们告诉SDR调谐到哪个频率，但SDR捕获的样本位于基带，这意味着信号将显示为以0 Hz为中心。我们必须跟踪我们告诉SDR调谐到哪个频率。以下是我们可能会收到的内容：

由于我们的信号已经以直流（0 Hz）为中心，因此我们知道我们需要一个低通滤波器。我们必须选择一个“截止频率”（又称转折频率），这将决定通带何时过渡到阻带。截止频率将始终以 Hz 为单位。在此示例中，3 kHz 似乎是一个不错的值：

但是，与大多数低通滤波器的工作方式一样，负频率边界也将为-3 kHz。也就是说，它在DC周围是对称的（稍后你会看到为什么）。我们的截止频率如下所示（通带是介于两者之间的区域）：

创建并应用截止频率为 3 kHz 的滤波器后，我们现在有：

这个滤波后的信号看起来会令人困惑，您应该记得我们的本底噪声位于-65 dB左右的绿线。尽管我们仍然可以看到以10 kHz为中心的干扰信号，但我们严重降低了该信号的功率。它现在低于本底噪音！我们还消除了阻带中存在的大部分噪音。 除了截止频率外，我们的低通滤波器的另一个主要参数称为“过渡宽度”。过渡宽度（也以Hz为单位）指示滤波器在通带和阻带之间必须多快，因为瞬时转换是不可能的。 让我们可视化过渡宽度。在下图中，绿线表示通带和阻带之间转换的理想响应，其转换宽度基本上为零。红线显示了实际滤波器的结果，该滤波器具有一定的纹波和一定的过渡宽度.

您可能想知道为什么我们不将过渡宽度设置为尽可能小。原因主要是较小的过渡宽度会导致更多的抽头，而更多的抽头意味着更多的计算 - 我们很快就会看到原因。一个 50 次抽头的过滤器可以使用树莓派 上 1% 的 CPU 全天运行。同时，一个 50，000 次抽头过滤器会导致您的 CPU 爆炸！通常我们使用过滤器设计器工具，然后查看它输出的抽头数，如果太多（例如，超过 100 个），我们增加过渡宽度。当然，这完全取决于运行过滤器的应用程序和硬件。 在上面的滤波示例中，我们使用了 3 kHz 的截止和 1 kHz 的过渡宽度（仅查看这些屏幕截图很难实际看到过渡宽度）。由此产生的过滤器有 77 个抽头。

返回到滤波器表示形式。尽管我们可能会显示滤波器的抽头列表，但我们通常在频域中直观地表示滤波器。我们称之为滤波器的“频率响应”，它向我们展示了滤波器在频率上的行为。这是我们刚刚使用的滤波器的频率响应：

请注意，我在这里展示的不是信号，它只是滤波器的频域表示。一开始可能有点难以理解，但是当我们查看示例和代码时，你会理解它。

给定滤波器还具有时域表示;它被称为滤波器的“脉冲响应”，因为如果你把一个脉冲放在滤波器上，它就是你在时域中看到的。对于FIR型滤波器，脉冲响应只是抽头本身。对于我们之前使用的 77 抽头过滤器，抽头是：

尽管我们还没有进入滤波器设计，但以下是生成该滤波器的 Python 代码：

简单地绘制这个浮点数组，就可以得到滤波器的脉冲响应：

下面是用于产生频率响应的代码，如前所述。这有点复杂，因为我们必须创建频率的x轴阵列。

我给你看的滤波器有实数的抽头，抽头也可能是复数。抽头是实数还是复数，不必与您通过它的信号相匹配，即，您可以将复杂的信号通过带有实数抽头的滤波器，反之亦然。当抽头为实数时，滤波器的频率响应将在直流（0 Hz）周围对称。通常，当我们需要不对称时，我们会使用复数的抽头，这种情况不会经常发生。

作为复数抽头的示例，让我们回到滤波用例，只是这次我们希望接收其他干扰信号（无需重新调谐无线电）。这意味着我们想要一个带通滤波器，而不是一个对称的滤波器。我们只想将（也称为“通过”）频率保持在 7 kHz 到 13 kHz 之间（我们不想同时传递 -13 kHz 到 -7 kHz）：

设计这种滤波器的一种方法是制作截止频率为3 kHz的低通滤波器，然后将其进行频移。请记住，我们可以通过将其乘以

来频移 x（t）（时域）。在这种情况下，

应该是 10 kHz，这会将我们的滤波器上移 10 kHz。回想一下，在我们的 Python 代码中， h 是低通滤波器的滤波器抽头。为了创建我们的带通滤波器，我们只需要将这些抽头乘以

，尽管它涉及创建一个向量来表示基于我们的采样周期的时间（采样率的倒数）：

脉冲响应和频率响应的曲线如下所示：

因为我们的滤波器在0 Hz左右不是对称的，所以它必须使用复数的抽头。因此，我们需要两条线来绘制这些复数抽头。我们在上面的左图中看到的仍然是脉冲响应。我们的频率响应图真正验证了我们创建了我们希望的滤波器，它将滤除以10 kHz为中心的信号之外的所有内容。再一次，请记住，上面的图不是实际信号：它只是滤波器的表示。掌握起来可能非常混乱，因为当您将滤波器应用于信号并在频域中绘制输出时，在许多情况下，它看起来与滤波器的频率响应本身大致相同。

如果这一小节增加了混乱，请不要担心，无论如何，99% 的时间您都会处理带有实数抽头的简单低通滤波器。

我们不会太深入地探讨滤波器的实现。相反，更专注于滤波器设计（无论如何，您可以在任何编程语言中找到现成的实现）。现在，这里有一个要点：要使用FIR滤波器滤除信号，您只需将脉冲响应（抽头阵列）与输入信号进行卷积即可。（别担心，后面的部分将解释卷积。在离散世界中，我们使用离散卷积（下面的示例）。标记为 b 的三角形是水龙头。在流程图中，三角形上方标记为

的方块表示延迟一个时间步长。

也许能够理解为什么我们现在根据过滤器本身的实现方式称它们为“抽头/水龙头（tap）”。

数字滤波器主要分为两类：FIR 和 IIR 1、Finite impulse response (FIR) 有限脉冲响应 2、Infinite impulse response (IIR) 无限脉冲响应 我们不会深入探讨这个理论，但现在请记住：FIR滤波器更容易设计，如果你使用足够的抽头，可以做任何你想做的事情。IIR滤波器更复杂，可能不稳定，但它们更有效（为给定滤波器使用更少的CPU和内存）。如果有人只是给你一个抽头列表，则假定它们是FIR滤波器的抽头。如果他们开始提到“极点（poles）”，他们正在谈论 IIR 滤波器。我们将在本教程坚持使用FIR滤波器。 下面是一个频率响应示例，比较了执行几乎完全相同滤波的FIR和IIR滤波器;它们具有相似的过渡宽度，正如我们所知，这将决定需要多少个抽头。FIR 滤波器有 50 个抽头，IIR 滤波器有 12 个极，就所需的计算而言，这就像有 12 个抽头。

FIR滤波器需要比IIR更多的计算资源来执行大致相同的滤波操作。 以下是您以前可能使用过的 FIR 和 IIR 滤波器的一些实际示例。

我们将绕道介绍卷积运算符。如果您已经熟悉本节，请随时跳过它

将两个信号相加是将两个信号组合成一个信号的一种方法。在频域一章中，我们探讨了将两个信号相加时线性度属性如何应用。卷积是将两个信号组合成一个信号的另一种方法，但它与简单地添加它们非常不同。两个信号的卷积就像一个信号在另一个信号上滑动并积分。如果您熟悉该操作，则它与互相关非常相似。事实上，在许多情况下，它等同于互相关。

我相信卷积运算最好通过示例来学习。在第一个例子中，我们将两个方形脉冲卷积在一起

因为它只是一个滑动积分，所以结果是一个三角形，在两个方形脉冲完美排列的点处具有最大值。让我们看看如果我们将方形脉冲与三角脉冲卷积会发生什么：

在这两个示例中，我们有两个输入信号（一个红色，一个蓝色），然后显示卷积的输出。您可以看到，输出是两个信号的积分，因为一个信号在另一个信号上滑动。由于这种“滑动”性质，输出的长度实际上比输入长。如果一个信号是 M 样本，另一个信号是 N 样本，则两者的卷积可以产生 N+M-1 样本。但是， numpy.convolve() 等函数可以指定是需要整个输出（ max(M, N) 样本）还是仅需要信号完全重叠的样本（如果您好奇，请指定 max(M, N) - min(M, N) + 1 ）。无需纠结于这些细节。只要知道卷积输出的长度不仅仅是输入的长度。

那么为什么卷积在DSP中很重要呢？首先，要滤除信号，我们可以简单地获取该滤波器的脉冲响应并将其与信号卷积。FIR 滤波只是一种卷积操作。

这可能会令人困惑，因为前面我们提到卷积接收两个信号并输出一个信号。我们可以将脉冲响应视为信号，卷积毕竟是一个数学运算符，它在两个一维数组上运行。如果其中一个一维阵列是滤波器的脉冲响应，则另一个一维阵列可以是输入信号的一部分，输出将是输入的滤波版本。

让我们看另一个示例来帮助此理解。在下面的示例中，三角形将代表滤波器的脉冲响应，绿色信号表示我们被滤波的信号。

红色输出是滤波信号。 问题：三角形是什么类型的过滤器？ 它平滑了绿色信号的高频分量（即正方形的急剧过渡），因此它充当低通滤波器。

现在我们开始理解卷积，我将介绍它的数学方程。星号 （*） 通常用作卷积的符号：

在上面的表达式中， g(t) 是翻转并在 f(t) 上滑动的信号或输入，但 g(t) 和 f(t) 可以交换，它仍然是相同的表达式。通常，较短的数组将用作 g(t) 。卷积等于互相关，定义为 ，当 g(t) 是对称的时，即当围绕原点翻转时它不会改变。

现在我们将考虑一种在 Python 中自己设计 FIR 滤波器的方法。虽然设计滤波器的方法有很多，但我们将使用从频域开始并反向工作以找到脉冲响应的方法。最终，这就是我们的滤波器（通过其抽头）的表示方式。 首先创建所需频率响应的矢量。让我们设计一个任意形状的低通滤波器，如下所示：

用于创建此滤波器的代码相当简单：

我们的最终目标是找到这个滤波器的抽头，以便我们可以实际使用它。给定频率响应，我们如何获得抽头？那么，我们如何从频域转换回时域呢？反向FFT（IFFT）！回想一下，IFFT函数与FFT函数几乎完全相同。我们还需要在IFFT之前IFFT移位我们想要的频率响应，然后在IFFT之后我们需要另一个IFF移位（不，它们不会自行抵消，你可以试试）。这个过程可能看起来令人困惑。请记住，您始终应该在FFT之后进行FFT移位，在IFFT之后进行IFF移位。

我们将使用上面显示的这些抽头作为我们的滤波器。我们知道脉冲响应正在绘制抽头，所以我们在上面看到的是我们的脉冲响应。让我们取抽头的FFT，看看频域的实际外观。我们将做一个 1，024 点的 FFT 以获得高分辨率：

看看频率响应怎么不是很直...它与我们的原版不太匹配，如果你还记得我们最初想要制作滤波器的形状。一个很大的原因是因为我们的脉冲响应没有衰减，即左右两侧没有达到零（加窗，第2章节有）。我们有两个选项可以允许它衰减到零： 选项1：我们“窗口”当前的脉冲响应，使其在两侧衰减为0。它涉及将我们的脉冲响应乘以一个从零开始和结束的“窗口函数”。

选项2：我们使用更多的点重新生成脉冲响应，以便它有时间衰减。我们需要为原始频域阵列添加分辨率（称为插值）。

两种选择都奏效了。你会选择哪一个？第二种方法导致更多的抽头，但第一种方法导致频率响应不是很尖锐，下降沿不是很陡峭。设计滤波器的方法有很多种，每种方法都有自己的权衡取舍。许多人认为滤波器设计是一门艺术。

我们将简要介绍DSP中一个非常有趣的主题，脉冲整形。稍后我们将抽出一章节中深入讨论该主题 。值得一提的是滤波，因为脉冲整形最终是一种滤波器，用于特定目的，具有特殊性能。 正如我们所了解的，数字信号使用符号来表示一个或多个信息位。我们使用数字调制方案，如ASK，PSK，QAM，FSK等，来调制载波，以便可以无线发送信息。当我们在数字调制章节中模拟QPSK时，我们只模拟每个符号的一个样本，即我们创建的每个复数都是星座上的一个点 - 它是一个符号。在实践中，我们通常为每个符号生成多个样本，原因与过滤有关。

我们使用滤波器来制作符号的“形状”，因为时域中的形状会改变频域中的形状。频域告诉我们信号将使用多少频谱/带宽，我们通常希望将其最小化。重要的是要了解，当我们调制载波时，基带符号的频谱特性（频域）不会改变;它只是在形状保持不变的情况下将基带的频率向上移动，这意味着它使用的带宽量保持不变。当我们每个符号使用 1 个样本时，就像传输方波脉冲一样。事实上，BPSK 每个符号使用 1 个样本只是随机 1 和 -1 的方波：

正如我们所了解到的，方波脉冲效率不高，因为它们使用了过量的频谱：

因此，我们要做的是“脉冲形状”这些块状符号，以便它们在频域中占用更少的带宽。我们使用低通滤波器来“脉冲形状”，因为它丢弃了我们符号的高频分量。下面显示了应用脉冲整形滤波器之前和之后时域（顶部）和频率域（底部）中的符号示例：

注意信号的频率下降速度有多快。脉冲整形后旁瓣降低 ~30 dB;少了 1，000 倍！更重要的是，主瓣更窄，因此每秒相同数量的比特使用更少的频谱。

现在，请注意，常见的脉冲整形滤波器包括： 1、Raised-cosine filter 升余弦滤波器 2、Root raised-cosine filter 根升余弦滤波器 3、Sinc filter 辛格滤波器 4、Gaussian filter 高斯滤波器 这些滤波器通常有一个参数，您可以调整该参数以减少使用的带宽。下面演示了具有不同值

的升余弦滤波器的时域和频域，该参数定义了滚降的陡峭程度。

您可以看到，较低的

值会减少使用的频谱（对于相同数量的数据）。但是，如果该值太低，则时域符号需要更长的时间才能衰减到零。实际上，当符号永远不会完全衰减到零时，这意味着我们无法在实践中传输此类符号。0.35 左右的

值很常见。

您将在脉冲整形一章中了解有关脉冲整形的更多信息，包括脉冲整形滤波器必须满足的一些特殊属性。