让我们从一个加速度为 a (t) 的粒子开始，这是一个已知的时间函数。 由于速度函数的时间导数是加速度，

\[\frac{d}{dt} v(t) = a(t),\]

我们可以取双方的无限积分，找到

\[\int \frac{d}{dt} v(t) dt = \int a(t) dt + C_{1},\]

其中 C 1 是积分常数。 因为\(\int \frac{d}{dt} v(t) dt = v(t)\)，速度由下式给出

\[v(t) = \int a(t) dt + C_{1} \ldotp \label{3.18}\]

同样，位置函数的时间导数是速度函数，

\[\frac{d}{dt} x(t) = v(t) \ldotp\]

因此，我们可以使用刚才使用的相同数学操作并找到

\[x(t) = \int v(t) dt + C_{2}, \label{3.19}\]

其中 C 2 是第二个积分常数。

我们可以使用这些积分推导出恒定加速度的运动学方程。 使用 a (t) = a，一个常数，并在方程\ ref {3.18} 中进行积分，我们发现

\[v(t) = \int a dt + C_{1} = at + C_{1} \ldotp\]

如果初始速度为 v (0) = v 0，则

\[v_{0} = 0 + C_{1} \ldotp\]

然后，C 1 = v 0 和

\[v(t) = v_{0} + at,\]

即方程式 3.5.12。 将这个表达式代入方程\ ref {3.19} 可以得出

\[x(t) = \int (v_{0} + at) dt + C_{2} \ldotp\]

我们发现，在进行整合时

\[x(t) = v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} + C_{2} \ldotp\]

如果 x (0) = x 0，我们有

\[x_{0} = 0 + 0 + C_{2} \ldotp\]

所以，C 2 = x 0。 在方程中用 x (t) 代替 x (t)，我们终于有了

\[x(t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

即方程式 3.5.17。

当摩托艇开始减速到达码头时，它正以 5.0 m/s 的恒定速度行驶。 它的加速度为 a (t) =\(-\frac{1}{4}\) t m/s 2。 (a) 摩托艇的速度函数是什么？ (b) 速度在什么时候达到零？ (c) 摩托艇的位置功能是什么？ (d) 摩托艇从开始减速到速度为零的排量是多少？ (e) 绘制速度和位置函数的图表。

策略

(a) 要获得速度函数，我们必须积分并使用初始条件来找到积分常数。 (b) 我们将速度函数设置为零并求解 t。(c) 同样，我们必须积分才能找到位置函数，并使用初始条件来找到积分常数。 (d) 由于将初始位置视为零，因此我们只需要在 t = 0 处计算位置函数。

我们把 t = 0 作为船开始减速的时间。

意义

加速度函数在时间上是线性的，因此积分涉及简单的多项式。 在图中\(\PageIndex{1}\)，我们可以看到，如果我们将解延伸到速度为零的点以外，速度变为负值，船的方向反转。 这告诉我们，解决方案可以为我们提供超出我们直接利益的信息，我们在解释它们时应谨慎行事。

粒子从静止状态开始，具有加速功能\(a(t)=\left(5-\left(10 \frac{1}{s}\right) t\right) \frac{m}{s^{2}}\)。 (a) 什么是速度函数？ (b) 什么是位置函数？ (c) 什么时候速度为零？