深入理解什么是Beta分布 |
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例一
Beta分布是一种描述概率的概率分布,这句话可能有些绕口,看一个例子: 以抛硬币为例,如果硬币是均匀的,并且正面朝上的概率记为p(p=0.5),那么每一次抛硬币都可以看做是一次伯努利实验,它服从0-1分布; 如果我们把硬币抛了n次,并且想要计算,在这n次当中,硬币正面朝上的次数的概率,那么它应该是服从 X~B(n,p) ,即二项分布。 二项分布可以看做是多次重复进行伯努利实验所得到的分布。 但是,如果假设我们事先并不知道硬币是否均匀,也就是说正面朝上的概率p是未知的,但显然 p 仍在[0,1] 区间之间,在这种情况下,比方说我们抛硬币10000次,其中正面朝上7000次,那么可以得到 p = 0.7,但是显然我们并不能肯定p就是0.7,如果我们再进行10000次抛硬币实验,可能正面朝上6000次,那么p就等于0.6了。那么,在多次重复进行二项分布的实验中,我们想要知道p的所有可能取值的概率,这就是一个Beta分布。(因为p就是描述正面朝上的概率,而Beta分布描述的是p的概率,因此称Beta分布可以看做是一个概率的概率分布) 正如二项分布可以看做是重复进行伯努利实验所得到的分布,Beta分布可以看做是重复进行二项分布所得到的分布。 通过例一,你可能已经对Beta分布有了一个直观的了解,接下来看例二。 例二在进行例二之前,我们先引入Beta分布,一般来说,我们可以将Beta分布记为Beta(a,b),其中a是成功的次数,b是失败的次数。 同时,我们需要知道一些概念,在贝叶斯公式中,有:
暂时知道这些就可以了。 仍以抛硬币为例,假设现在是在进行一场比赛,以抛硬币得到正面朝上的次数最多的人获胜。现有甲、乙两个人参赛。 先验分布: 在比赛开始之前,我们假设对硬币朝上的概率一无所知,一无所知就意味着任何概率都是等可能的,Beta(1,1)可以表示这样的分布: 甲选手比较正直,他使用的可能是均匀的硬币,即得到正面或者反面的概率是一样的,我们可以用Beta(5,5)来表示这样的分布: 乙选手善于使诈,他可能使用了作弊的硬币,也就是说每抛一次硬币几乎都会得到正面朝上的结果,我们用Beta(5,1)来表示这样的分布: 后验分布: 用Beta分布来模拟硬币的先验分布后,通过贝叶斯估计,得到的后验分布依然是Beta分布。 我们假设甲乙两选手在比赛中各自抛了3次硬币,甲选手三次均得到正面朝上,用Beta分布来表示即: 乙选手抛掷三次硬币同样得到三次正面朝上,那么用Beta分布表示即: 通过这个例子,相信你对Beta分布会有一个更加深刻的认知。 Beta分布的公式推导
关于Beta函数与伽马函数之间的关系式的那个推导: Beta分布的性质: 共轭分布与共轭先验分布: 参考: 如何通俗理解 beta 分布? - 马同学的回答 - 知乎 暴力推导 Beta 函数与 Gamma 函数关系式 |
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