f ( x ) = 1 2 π σ e x p ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) f(x)=2π ​σ1​exp(−2σ2(x−μ)2​) ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} ϕ(x)=2π ​1​e−2x2​ Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt Φ(x)=2π ​1​−∞∫x​e−2t2​dt Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x ) \Phi(-x) = 1-\Phi(x) Φ(−x)=1−Φ(x) 若 X i ∼ N ( μ i , σ i 2 ) , 且 他 们 相 互 独 立 ， 则 对 于 Z = X 1 + X 2 + ⋯ + X n , Z ∼ N ( μ 1 + μ 2 + ⋯ + μ n , σ 1 2 + σ 2 2 + ⋯ + σ n 2 ) 若X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i),且他们相互独立，则对于Z = X_1+X_2+\cdots+X_n,Z\sim N(\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_n, \sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2) 若Xi​∼N(μi​,σi2​),且他们相互独立，则对于Z=X1​+X2​+⋯+Xn​,Z∼N(μ1​+μ2​+⋯+μn​,σ12​+σ22​+⋯+σn2​)

对于正态分布 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim{N(\mu,\sigma^2)} X∼N(μ,σ2) 有 Z = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim{N(0,1)} Z=σX−μ​∼N(0,1)

瑞利分布（Rayleigh Distribution）:当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、均值为0，有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。 f ( x ) = x σ 2 e − x 2 2 σ 2 , x > 0 f\left(x\right)=\frac{x}{σ^2}e^{-\frac{x^2}{2σ^2}},x>0 f(x)=σ2x​e−2σ2x2​,x>0

E ( X ) = μ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E\left(X\right)=\mu \left(X\right)=\int _{-\infty }^{\infty }xf\left(x\right)dx E(X)=μ(X)=∫−∞∞​xf(x)dx = ∫ 0 ∞ x 2 σ 2 e − x 2 2 σ 2 d x = ∫ 0 ∞ − x d e − x 2 2 σ 2 , ( x > 0 ) =\int _0^{\infty }\frac{x^2}{\sigma ^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}dx=\int _0^{\infty }-xde^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}},\left(x>0\right) =∫0∞​σ2x2​e−2σ2x2​dx=∫0∞​−xde−2σ2x2​,(x>0) = − x e − x 2 2 σ 2 ∣ 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e − x 2 2 σ 2 d x =-xe^{^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}|_0^{\infty }+\int _0^{\infty }e^{^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}dx =−xe−2σ2x2​∣0∞​+∫0∞​e−2σ2x2​dx = 0 + 2 π σ ∫ 0 ∞ 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 d x =0+\sqrt{2\pi }\sigma \int _0^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}}dx =0+2π ​σ∫0∞​2π ​σ1​e−2σ2x2​dx

= 2 π σ × 1 2 = π 2 σ ≈ 1.253 σ =\sqrt{2\pi }\sigma \times \frac{1}{2}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma \approx 1.253\sigma =2π ​σ×21​=2π​ ​σ≈1.253σ

D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2 = ∫ 0 ∞ x 3 σ 2 e − x 2 2 σ 2 d x − [ E ( X ) ] 2 =\int _0^{\infty }\frac{x^3}{\sigma ^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}dx-\left[E\left(X\right)\right]^2 =∫0∞​σ2x3​e−2σ2x2​dx−[E(X)]2 = ∫ 0 ∞ − x 2 d e − x 2 2 σ 2 − [ E ( X ) ] 2 =\int _0^{\infty }-x^2de^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}-\left[E\left(X\right)\right]^2 =∫0∞​−x2de−2σ2x2​−[E(X)]2 = − x 2 e − x 2 2 σ 2 ∣ 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e − x 2 2 σ 2 d x 2 − [ E ( X ) ] 2 =-x^2e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}|_0^{\infty }+\int _0^{\infty }e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}dx^2-\left[E\left(X\right)\right]^2 =−x2e−2σ2x2​∣0∞​+∫0∞​e−2σ2x2​dx2−[E(X)]2 = 0 − 2 σ 2 e − x 2 2 σ 2 ∣ 0 ∞ − [ E ( X ) ] 2 =0-2\sigma ^2e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}|_0^{\infty }-\left[E\left(X\right)\right]^2 =0−2σ2e−2σ2x2​∣0∞​−[E(X)]2 = 2 σ 2 − ( π 2 σ ) 2 = 4 − π 2 σ 2 ≈ 0.429 σ 2 =2\sigma ^2-\left(\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma \right)^2=\frac{4-\pi }{2}\sigma ^2\approx 0.429\sigma ^2 =2σ2−(2π​ ​σ)2=24−π​σ2≈0.429σ2

E ( x ) = λ E(x) = \lambda E(x)=λ D ( x ) = λ D(x) = \lambda D(x)=λ 已 知 X ∼ π ( λ ) , 求 E ( λ k e − λ k ! ) 已知X\sim \pi(\lambda),求E\left(\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\right) 已知X∼π(λ),求E(k!λke−λ​) E ( 1 X + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ 1 k + 1 P { X = k } E\left(\frac{1}{X+1}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}P\{X=k\} E(X+11​)=k=0∑∞​k+11​P{X=k}

E ( x ) = θ E(x) = \theta E(x)=θ D ( x ) = θ 2 D(x) = \theta^2 D(x)=θ2

指数分布概率密度为 f X ( x ) = { α e − α x , x > 0 0 , x ≤ 0 f_X(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \alpha e^{-\alpha x} & , x>0\\ 0 & , x \le 0 \end{array} \right. fX​(x)={αe−αx0​,x>0,x≤0​

f Y ( y ) = { β e − β y , y > 0 0 , y ≤ 0 f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{lr} \beta e^{-\beta y} & , y>0\\ 0 & , y \le 0 \end{array} \right. fY​(y)={βe−βy0​,y>0,y≤0​

指数分布分布函数为 F X ( x ) = { 1 − e − α x , x > 0 0 , x ≤ 0 F_X(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 1-e^{-\alpha x} &, x>0\\ 0 &, x \le 0 \end{array} \right. FX​(x)={1−e−αx0​,x>0,x≤0​

F Y ( y ) = { 1 − e − β y , y > 0 0 , y ≤ 0 F_Y(y) = \left\{ \begin{array}{lr} 1-e^{-\beta y} &, y>0\\ 0 &, y \le 0 \end{array} \right. FY​(y)={1−e−βy0​,y>0,y≤0​

F m a x ( z ) = F X ( z ) F Y ( z ) F_{max}(z) = F_X(z)F_Y(z) Fmax​(z)=FX​(z)FY​(z) 对于独立的两个指数分布 F m i n ( x ) = { 1 − e − ( α + β ) , z > 0 0 , z ≤ 0 F_{min}(x) = \left\{ \begin{array}{lr} 1-e^{-(\alpha+\beta)} &, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right. Fmin​(x)={1−e−(α+β)0​,z>0,z≤0​

f m i n ( x ) = { ( α + β ) e − ( α + β ) , z > 0 0 , z ≤ 0 f_{min}(x) = \left\{ \begin{array}{lr} (\alpha + \beta)e^{-(\alpha+\beta)} &, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right. fmin​(x)={(α+β)e−(α+β)0​,z>0,z≤0​

F m i n ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] [ 1 − F Y ( z ) ] F_{min}(z) = 1-\left[1-F_X(z)\right]\left[ 1 - F_Y(z)\right] Fmin​(z)=1−[1−FX​(z)][1−FY​(z)]

f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( z − y , y )   d y f_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)\,\mathrm{d}y fX+Y​(z)=−∞∫∞​f(z−y,y)dy f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , z − x )   d x f_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)\,\mathrm{d}x fX+Y​(z)=−∞∫∞​f(x,z−x)dx 独立时，有卷积公式 f X ∗ f Y = f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( z − y ) f Y ( y )   d y = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x )   d x f_X * f_Y = f_{X+Y}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\,\mathrm{d}y = \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x fX​∗fY​=fX+Y​(z)=−∞∫∞​fX​(z−y)fY​(y)dy=−∞∫∞​fX​(x)fY​(z−x)dx f ( z ) = { ( α β β − α ) ( e − α z − e − β z ) , z > 0 0 , z ≤ 0 f(z) = \left\{ \begin{array}{lr} (\frac{\alpha\beta}{\beta-\alpha})\left(e^{-\alpha z}-e^{-\beta z} \right)&, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right. f(z)={(β−ααβ​)(e−αz−e−βz)0​,z>0,z≤0​

f ( z ) = { ( 1 1 α − 1 β ) ( e − α z − e − β z ) , z > 0 0 , z ≤ 0 f(z) = \left\{ \begin{array}{lr} \left(\frac{1}{\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}}\right)\left(e^{-\alpha z}-e^{-\beta z} \right)&, z>0\\ 0 &, z\le0 \end{array} \right. f(z)={(α1​−β1​1​)(e−αz−e−βz)0​,z>0,z≤0​

ρ X Y = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) = 0 \rho_{XY} = \frac{Cov{(X,Y)}}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=0 ρXY​=D(X) ​D(Y) ​Cov(X,Y)​=0 E ( X , Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(X,Y) = E(X)E(Y) E(X,Y)=E(X)E(Y) C o v ( X , Y ) = 0 Cov(X,Y)=0 Cov(X,Y)=0 D ( X , Y ) = D ( x ) + D ( Y ) D(X,Y) = D(x)+D(Y) D(X,Y)=D(x)+D(Y)

P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { X ≤ x , Y ≤ y } P\{X\leq x,Y\leq y\} = P\{X\leq x\}P\{X\leq x,Y\leq y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{X≤x,Y≤y} F ( x , y ) = F x ( x ) F y ( y ) F(x,y) = F_x(x)F_y(y) F(x,y)=Fx​(x)Fy​(y) f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) 在 平 面 上 几 乎 处 处 成 立 f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)在平面上几乎处处成立 f(x,y)=fX​(x)fY​(y)在平面上几乎处处成立

伽玛函数（Gamma函数），也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分，可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。 Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ t x − 1 e − t d t ( x > 0 ) \Gamma(x) = \int\limits_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt (x>0) Γ(x)=0∫+∞​tx−1e−tdt(x>0)

Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x) Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n) = (n-1)! Γ(n)=(n−1)!

设 X 1 , X 2 , ⋯ 是 相 互 独 立 的 ， 服 从 同 一 分 布 的 ， 随 机 变 量 序 列 ， 且 E ( X k ) = μ . 设X_1, X_2, \cdots是相互独立的，服从同一分布的，随机变量序列，且E(X_k) = \mu. 设X1​,X2​,⋯是相互独立的，服从同一分布的，随机变量序列，且E(Xk​)=μ. 作 前 n 个 变 量 的 算 数 平 均 1 n ∑ k = 1 n X k , 则 对 于 任 意 的 ε > 0 , 有 作前n个变量的算数平均\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k,则对于任意的\varepsilon>0,有 作前n个变量的算数平均n1​k=1∑n​Xk​,则对于任意的ε>0,有

lim ⁡ n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ k = 1 n X k − μ ∣ < ε } = 1 \begin{aligned} \lim_{n\to \infty} P{\left\{\left \vert {\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k-\mu} \right \vert< \varepsilon \right\}}=1 \end{aligned} n→∞lim​P{∣∣∣∣∣​n1​k=1∑n​Xk​−μ∣∣∣∣∣​∣∣∣∣∣​k=1∑n​nfA​​−p∣∣∣∣∣​≥ε}=0​

E ( X k ) = μ , D ( X k ) = σ 2 > 0 E(X_k) = \mu,D(X_k) = \sigma^2>0 E(Xk​)=μ,D(Xk​)=σ2>0 随 机 变 量 之 和 ∑ k = 1 n X k 的 标 准 化 变 量 Y n = ∑ k = 1 n X k − n μ n σ 随机变量之和\sum_{k=1}^nX_k的标准化变量Y_n=\frac{\sum_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma} 随机变量之和k=1∑n​Xk​的标准化变量Yn​=n ​σ∑k=1n​Xk​−nμ​

1 2 π ∫ − ∞ ∞ t 2 e − t 2 / 2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}t^2e^{{-t^2}/{2}} 2π ​1​−∞∫∞​t2e−t2/2

S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ) ˉ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i 2 + X ˉ 2 − 2 X i X ˉ ) S^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X)}^2} =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}{(X_i^2 + \bar{X}^2 - 2X_i\bar{X})} S2=n−11​i=1∑n​(Xi​−X)ˉ​2=n−11​i=1∑n​(Xi2​+Xˉ2−2Xi​Xˉ) = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ˉ 2 ) = \frac{1}{n-1}\left ({\sum_{i=1}^{n}{X_i^2-n \bar{X}^2} }\right) =n−11​(i=1∑n​Xi2​−nXˉ2)

E ( X ˉ ) = μ E(\bar X) = \mu E(Xˉ)=μ D ( X ˉ ) = 1 n σ 2 D(\bar X) = \frac{1}{n}\sigma^2 D(Xˉ)=n1​σ2 E ( X ˉ 2 ) = D ( X ˉ ) + E ( X ˉ ) 2 = μ 2 + σ 2 n E({\bar X}^2) = D(\bar X) + E(\bar X)^2 = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} E(Xˉ2)=D(Xˉ)+E(Xˉ)2=μ2+nσ2​ E ( S 2 ) = σ 2 E(S^2) = \sigma^2 E(S2)=σ2

χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 \chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 χ2=X12​+X22​+⋯+Xn2​

χ 1 2 + χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 ) \chi_1^2+\chi_2^2 \sim \chi^2(n_1+n_2) χ12​+χ22​∼χ2(n1​+n2​)

E ( χ 2 ) = n E(\chi^2) = n E(χ2)=n D ( χ 2 ) = 2 n D(\chi^2) = 2n D(χ2)=2n Y = ( X 1 + X 2 ) 2 + ( X 3 + X 4 ) 2 Y = (X_1+X_2)^2+(X_3+X_4)^2 Y=(X1​+X2​)2+(X3​+X4​)2

设 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , 且 X , Y 相 互 独 立 设X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n),且X,Y相互独立 设X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且X,Y相互独立 t = X Y / n 服 从 自 由 度 为 n 的 t 分 布 t ∼ t ( n ) t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}服从自由度为n的t分布t\sim t(n) t=Y/n ​X​服从自由度为n的t分布t∼t(n)

由对称性可知，上 α \alpha α 分位数 t 1 − a ( n ) = − t a ( n ) t_{1-a}(n)=-t_a(n) t1−a​(n)=−ta​(n)

设 U ∼ χ 2 ( n 1 ) , V ∼ χ 2 ( n 2 ) , 且 U , V 相 互 独 立 ， 则 随 机 变 量 设U \sim \chi^2(n_1),V \sim \chi^2(n_2),且U,V相互独立，则随机变量 设U∼χ2(n1​),V∼χ2(n2​),且U,V相互独立，则随机变量 F = U / n 1 V / n 2 F = \frac{U/n_1}{V/n_2} F=V/n2​U/n1​​ 服 从 自 由 度 为 ( n 1 , n 2 ) 的 F 分 布 , 记 为 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) 服从自由度为(n_1,n_2)的F分布,记为F\sim F(n_1, n_2) 服从自由度为(n1​,n2​)的F分布,记为F∼F(n1​,n2​)

1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) \frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1) F1​∼F(n2​,n1​) F 1 − a ( n 1 , n 2 ) = 1 F a ( n 2 , n 1 ) F_{1-a}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_a(n_2,n_1)} F1−a​(n1​,n2​)=Fa​(n2​,n1​)1​

设 X 1 , X 2 , ⋯ X n 是 来 自 正 态 总 体 N ( μ , σ 2 ) 的 样 本 ， X ˉ 是 样 本 均 值 ， 则 ： 设X_1,X_2,\cdots X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，\bar X是样本均值，则： 设X1​,X2​,⋯Xn​是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，则： X ˉ ∼ ( μ , σ 2 n ) \bar X \sim (\mu,\frac{\sigma^2}{n}) Xˉ∼(μ,nσ2​)

设 X 1 , X 2 , ⋯ X n 是 来 自 正 态 总 体 N ( μ , σ 2 ) 的 样 本 ， X ˉ 是 样 本 均 值 ， S 2 是 样 本 方 差 ， 则 ： 设X_1,X_2,\cdots X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，\bar X是样本均值，S^2是样本方差，则： 设X1​,X2​,⋯Xn​是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，S2是样本方差，则： ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) σ2(n−1)S2​∼χ2(n−1) X ˉ 与 S 2 相 互 独 立 \bar{X}与S^2相互独立 Xˉ与S2相互独立

设 X 1 , X 2 , ⋯ X n 是 来 自 正 态 总 体 N ( μ , σ 2 ) 的 样 本 ， X ˉ 是 样 本 均 值 ， S 2 是 样 本 方 差 ， 则 ： 设X_1,X_2,\cdots X_n是来自正态总体N(\mu,\sigma^2)的样本，\bar X是样本均值，S^2是样本方差，则： 设X1​,X2​,⋯Xn​是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，Xˉ是样本均值，S2是样本方差，则： X ˉ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1) S/n ​Xˉ−μ​∼t(n−1) 证明(标准正态分布除以卡方分布配(n-1)即可)： X ˉ − μ σ / n / ( n − 1 ) S 2 ( n − 1 ) σ 2 {\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}}/\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{(n-1)\sigma^2}} σ/n ​Xˉ−μ​/(n−1)σ2(n−1)S2​ ​

设 X 1 , X 2 , ⋯   , X n 与 Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y n 分 别 是 来 自 正 态 总 体 分 布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) 和 N ( μ 2 , σ 2 2 ) 的 样 本 ， 且 两 个 样 本 相 互 独 立 设X_1,X_2,\cdots,X_n与Y_1,Y_2,\cdots,Y_n分别是来自正态总体分布N(\mu_1,\sigma_1^2)和N(\mu_2,\sigma_2^2)的样本，且两个样本相互独立 设X1​,X2​,⋯,Xn​与Y1​,Y2​,⋯,Yn​分别是来自正态总体分布N(μ1​,σ12​)和N(μ2​,σ22​)的样本，且两个样本相互独立

S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1) σ12​/σ22​S12​/S22​​∼F(n1​−1,n2​−1)

当 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 时 当\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2时 当σ12​=σ22​=σ2时 ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2) Sw​n1​1​+n2​1​ ​(Xˉ−Yˉ)−(μ1​−μ2​)​∼t(n1​+n2​−2) S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 + n 2 − 2 S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2} Sw2​=n1​+n2​−2(n1​−1)S12​+(n2​−1)S22​​