因式分解方法-Z反变换

  z 变换 是分析线性定常离散时间系统的数学工具。  常见到的反变换方法包括 留数方法，也就是公式方法； 因式分解方法， 以及长处方法，这是 z 反变换特有的方法。 在第十次作业中， 包含有12个练习题， 练习利用因式分解方法求解 z 反变换。 下面来看一下它们求解思路。

  首先来看必做题， 第一小题 对应的 Z 变换 是一个常量， 对应的收敛域为整个 z 平面。  我们知道， delta(n) 的 z 变换是 1。 那么 2 倍的 delta(n) 对应的 z 变换是 2。 由此，可以推断出，第一小题对应的序列为 2 delta n。  这是一个基础练习题。

  第二小题， 对应 z 的 负 4 次方。 根据 z 变换的定义， 序列 x[n] 是 关于 z 的洛朗级数每一项前面的系数， z 的负 4 次方 对应着 x[4]。 所以 z 的 负四次方的对应的序列为  delta n 减 4。  除了根据 z 变换定义得到对应的序列表达式， 也可以根据 z 变换的位移特性， 把 z 的 负四次方 看成 delta n 往右平移四个点位， 也可以获得 delta n 减 4。

  第三小题， 实际上是前面两个小题的组合。 可以分别写出多项式中 每一项对应的时域表达式， 将它们组合在一起，    便获得时域序列表达式。 前面三道小题都是按照 z 变换的定义获得 z 反变换的结果。   下面四个小题， 需要使用因式分解方法进行求解。 第四小题， 它实际上对应着指数序列的标准一阶分式的形式。 可以对应右边指数序列， a 的 n 次方。 但根据习题中给定z 变换的收敛域， 为半径为 alpha 的圆内区域， 可以知道该序列为 左边指数序列。   这是第四小题的答案。   第五小题对应的 z 变换的形式本质是相同的， 它对收敛域是半径为 beta 的圆外。  所以它就对应着右边因果指数序列。 上面两个小题是因式分解进行 z 反变换的基本形式。   第六小题则需要进行因式分解。 本质上需要对表达式先除以 z ， 再根据极点进行因式分解。  在这里直接给出了分解的答案。 根据 z 变换的收敛域确定每个因式对应的序列表达式。 根据 z 的模大于四分之一，  这说明 负四分之一 这个极点在收敛域之内， 对应着右边序列。 根据 z 的模小于二分之一，  这说明前面 负二分之一极点因式， 对应着左边序列。   将它们合并在一起，便是本小题的答案。

  第七小题本质上与第六小题没有差别， 对有理分式进行因式分解， 根据收敛域的特征，  这两个因式对应着都是右边序列。  这样便可以得到本小题的结果。

  前面七个小题是必做题， 后面还有五个基本上类似的小题， 第一小题是一个一阶有理分式， 根据收敛域可以判断该序列是一个右边序列。 第二小题为二阶有理分式， 对其进行变形， 可以看到存在分子、分母因式抵消，  最终化简成一个一阶分式。 由收敛域的特点  可以写出对应右边序列表达式。 这是一个指数序列。 第三小题表面上并不复杂， 它具有两个极点。  对其进行因式分解，  收敛域说明每个因式都是右边序列。  这是写出每个因式序列表达式的整体。 对应着指数序列。   后面两个小题稍微复杂一点。 第四小题 将其整理成关于 z 的有理分式， 先将 X(z) 除以 z 接下来进行因式分解，  这里直接给出了分解的结果。  然后再将 X(z) 下面的 z 转移到方程的右边。 它们对应标准的指数序列。 根据收敛域的特点， 写出对应的指数序列。 第六小题的分母与 sine， cosine 序列的z 变换很接近， ·具有 一对共轭极点。 将 X(z) 凑成 sine,cosine 序列 z 变换表达式的形式。 前面对应着cosine 序列， 后面对应着sine 序列。   最终写出两个振荡序列的表达式。 这是本小题的答案。

  本文讨论了第十次作业中的 z 反变换练习题。 主要应用 因式分解方法进行 z 反变换。

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