第十一讲　频域分析法（伯德图）

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第十一讲　频域分析法（伯德图）

2024-07-06 01:44| 来源: 网络整理| 查看: 265

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如果没有闭环传递函数的特征方程，如何从开环系统的传递函数或者频率响应得知闭环系统的稳定性呢？那就是使用乃氏图Nyquist Plot和伯德图Bode Plot。

对数频率特性对数坐标图(Bode图)

Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成。

对数幅频特性是频率特性的对数值L(ω)=20lgA (ω)（dB）与频率ω的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角 (度)与频率ω的关系曲线。如图5-5所示。

横坐标为 $\omega$ ，以对数分度，十倍频程，单位是rad/s。频率 $\omega$ 每扩大10倍，横轴上变化一个单位长度。因此，对于 $\omega$ 坐标分度不均匀，对于 $lg\omega$ 则是均匀的。

图5-5 Bode图坐标系

对数幅频特性的纵轴采用线性分度，为幅值的分贝数，即 L(ω)=20lgA(ω)，A(ω)每增加10倍，L(ω)增加20dB；横坐标采用对数分度，即横轴上的ω取对数后为等分点。

对数相频特性横轴采用对数分度；纵轴为线性分度，表示相角的度数，单位为度。

通常将这两个图形上下放置：幅频特性在上，相频特性在下，且将纵轴对齐。这样做的好处是便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便。

对数频率特性优点：

取对数，展宽了频率范围。对于不含不稳定环节的系统，可由对数频率特性得到系统的传函。典型环节可用直线或折线近似表示。

n个环节串联

一、典型环节的对数频率特性

1. 积分环节

如果有n个积分环节相互串联时，即

$G(j\omega)=\frac{1}{(j\omega)^{n}}$ ,那么它的对数幅频特性是

伯德图是一条斜率为-n×20 ，且在ω=1（弧度/秒）处过零分贝线（ω轴）的直线。相频特性是一条与ω无关，值为-n×900且与ω轴平行的直线。

2. 惯性环节

惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率 $\omega=\frac{1}{T}$ ，称为转折频率。

两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。

3. 微分环节

4. 二阶振荡环节

二阶振荡环节的传递函数：

5. 比例环节

5. 滞后环节

其对数幅频特性与ω无关，是一条与ω轴重合的零分贝线。滞后相角分别与滞后时间常数τ和角频率ω成正比。

6.不稳定环节

传递函数：有一个正的实极点

$G(s)=\frac{1}{Ts-1}\\$

频率特性： $G(s)=\frac{1}{j\omega T-1}\\$

幅频特性和相频特性分别为

不稳定环节的频率特性如图。它与惯性环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。

二、系统的开环对数频率特性

对n个环节串联的系统，其开环传递函数可以表示为

其频率特性:

系统开环的对数幅频特性:

开环相频特性:

由以上两个式子我们可以看出，系统的开环对数幅频特性L(ω)等于各个串联环节对数幅频特性之和；系统的开环相频特性等于各个环节相频特性之和。

绘制系统开环对数幅频特性的步骤：

1. 将开环传递函数变为时间常数形式，即

2. 求各环节的转折频率，并标在Bode图的ω轴上。

3. 过ω=1,L(ω)=20lgK点作一条斜率为-20×υ dB/dec的直线，直到第一个转折频率，或者过

作一条斜率为-20×υdB/dec的直线，直到第一个转折频率，以上直线作为对数幅频特性的低频段。

4. L(ω)的低频段向高频段延伸，每经过一个转折频率，按环节性质改变一次渐近线的斜率。

5. 在各转折频率附近利用误差曲线进行修正，得精确曲线。

系统的对数相频特性可以由各环节相频特性叠加的方法绘制。

三、控制系统的稳定裕量

1. 增益裕量 gm

2. 相角裕量γ

例题：已知某单位负反馈系统的开环传递函数为

1）作伯德图，求K=1时的增益裕量 $g_{m}$ 和相角裕量 $\gamma$ ，并分析增大或减小K 对稳定裕量的影响;

2）求临界稳定时的K值（ $K_{c}$ ）;

3）若要求增益裕量 g_m≥30dB ，增益K应如何取值?

4）若要求相角裕量 $\gamma=45°$ ，增益K应如何取值?

解答：

1）先求 $\omega_{g}$ ，再求 $g_{m}$

计算增益裕量：

计算相角裕量：先求ωc，再求γ

相角裕量的近似计算：可以忽略时间常数小的惯性环节对系统的影响。

2）临界稳定对应 $L(\omega)$ 增大28dB，设K增大K1倍，则

$20lg K_{1}=28dB\Rightarrow K_{1}=25.12$

所以， $K_{c}=K_{1}\times 1=25.12$

3) $g_{m}=30dB$ 对应 $L(\omega)$ 下降2dB。假设K减少K1倍，则

$20lg K_{1}=-2dB\Rightarrow K_{1}=0.794$

所以， $K_{c}\leq K_{1}\times 1=0.794$

4） $\gamma=45°$ 对应 $L(\omega)$ 上升12.9dB。设K增大K1倍，则

$20lg K_{1}=12.9dB\Rightarrow K_{1}=4.416$

所以， $K=K_{1}\times 1=4.416$

四、最小相位和非最小相位系统

在s右半平面上既无极点，又无零点的传递函数，称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数，具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。当控制系统中包含有纯滞后环节或存在不稳定的小回环时，都是非最小相位系统。

设有两个系统(a)和(b)，其传递函数

零、极点分布如图所示。

五、开环频率特性与时域响应的关系(三频段理论)

开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加以分析，下面介绍“三频段”的概念

低频段中频段高频段通过对三个频段频率特性分析估计系统的时域性能

1、低频段：

通常指 $L(\omega)$

的渐近线在第一个转折频率以前的频段。

$G_{0}(s)=\frac{K}{s^{\nu}}\\$

低频段对数幅频特性曲线：低频段对数幅频特性曲线延长线交于0dB线。 $L(\omega)=20lg\left| G_{0} \right|=20lgK-\nu\cdot20lg\omega\\$

相频特性曲线： $\angle G_{0}=-\nu\cdot 90^{\circ}\\$

这一段特性完全由积分环节和开环放大倍数（开环增益）决定。所以根据低频段可以确定系统的型别 $\nu$ 和开环放大倍数K。

根据终值定理，系统的稳态误差由系统开环频率特性的低频段决定

低频段的斜率愈小（绝对值越大），位置愈高，对应系统积分环节的数目愈多（系统型别愈高）、开环放大倍数K愈大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差愈小，动态响应的跟踪精度愈高。

显然，在相同输入信号的作用下，增加系统的型别（通常最高为Ⅱ型）可以改善系统的稳态性能；增大开环增益K，可以减少系统的稳态误差。

2、中频段：

是指开环对数幅频特性曲线 $L(\omega)$ 在开环截止频率 $\omega_{c}$ 附近（0分贝附近）的区段。

这段特性集中反映闭环系统动态响应的平稳性和快速性，时域响应的动态特性主要取决于中频段的形状。

反映中频段形状的三个参数为：开环截止频率ωc、中频段的斜率、中频段的宽度。

1) 假设中频段的频率为 -20dB/dec ,并且占据的频段较宽

$L(\omega)=20lg\left| G_{0} \right|=20lgK-\nu\cdot20lg\omega\\$

$L(\omega_{c})=20lg\left| G_{0} \right|=20lgK-20lg\omega_{c}=0\\$

所以， $\omega_{c}=K$ ，这样中频段对应的开环传递函数为 $G(s)=\frac{K}{s}=\frac{\omega_{c}}{s}$ ，则系统的闭环传递函数为：

$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\frac{\omega_{c}}{s}}{1+\frac{\omega_{c}}{s}}=\frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}\\$

显然，这是一个一阶系统，阶跃响应按照指数规律变化，没有超调，系统稳定性好

$t_{s}=\frac{3}{\omega_{c}}$ ， $\omega_{c}$ 越大，系统的快速性越好。

2）假设中频段的频率为 -40dB/dec

$L(\omega_{c})=20lg\left| G_{0} \right|=20lgK-2\times20lg\omega_{c}=0\\$

所以， $\omega_{c}^{2}=K$ ，这样中频段对应的开环传递函数为 $G(s)=\frac{K}{s^{2}}=\frac{\omega_{c}^{2}}{s^{2}}$ ，则系统的闭环传递函数为：

$\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\frac{\omega_{c}^{2}}{s^{2}}}{1+\frac{\omega_{c}^{2}}{s^{2}}}=\frac{\omega_{c}^{2}}{s^{2}+\omega_{c}^{2}}\\$

显然，这相当于一个 $\xi =0$ 的二阶系统，阶跃响应为等幅震荡实际系统即使稳定，系统的超调量和调节时间也比较大，稳定性和快速性都比较差。

3）假设中频段的频率为 -60dB/dec ,中频段对应的传递函数分母比分子高三阶，相角裕量一定小于0，系统不稳定

为了使系统稳定，且有足够的稳定裕度，一般希望开环对数幅频特性斜率为-20dB/dec的线段上，且中频段要有足够的宽度（这样系统的相角余量可以大于 $45^{\circ}$ ），为了提高快速性，截止频率也应满足要求；或位于开环对数幅频特性斜率为 –40dB/dec的线段上，且中频段较窄。

3、高频段：指开环对数幅频特性在中频段以后的频段（ $\omega 10\omega_{c}$ ），高频段的形状主要影响系统的抗干扰性能，对系统的动态性能影响不大。在分析时，将高频段做近似处理，即把多个小惯性环节等效为一个小惯性环节去代替，等效小惯性环节的时间常数等于被代替的多个小惯性环节的时间常数之和