本文归纳常见的常微分方程的一般解法。

如果没有出现意外，本文将不包含解法的推导过程。

常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：

这类微分方程可以变形成如下形式：

f ( x ) d x = g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy

两边同时积分即可解出函数，难度主要在于不定积分，是最简单的微分方程。

p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。

形如

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy​+P(x)y=Q(x)

的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。

解法：直接套公式：

y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C) y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)

多套几遍熟练就好。

伯努利方程

形如

d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈ R , n ≠ 1 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1 dxdy​+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n​=1

的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：

y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy​+P(x)y1−n=Q(x)

1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) 1−n1​⋅dxdy1−n​+P(x)y1−n=Q(x)

令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到

d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu​+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)

即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x ) \frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu​+P′(x)u=Q′(x)

这是可以套公式的一阶线性微分方程。

形如

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y''+py'+qy=f(x) y′′+py′+qy=f(x)

的方程称为二阶常系数微分方程，若 f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv0 f(x)≡0，则方程称为齐次的，反之称为非齐次的。以下默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。

首先假设 f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv0 f(x)≡0.

用特征方程法，写出对应的特征方程并且求解：

r 2 + p r + q = 0 r^{2}+pr+q=0 r2+pr+q=0

解的情况分为以下三种：

情况一：方程有两个不同的实数解

假设两个实数解分别是 r 1 、 r 2 r_{1}、r_{2} r1​、r2​，

此时方程的通解是

Y ( x ) = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x Y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} Y(x)=C1​er1​x+C2​er2​x.

情况二：方程有一个二重解

假设该解等于 r r r，

此时方程的通解是

Y ( x ) = ( C 1 + C 2 x ) e r x Y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx} Y(x)=(C1​+C2​x)erx.

情况三：方程有一对共轭复解

假设这对解是 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ

此时方程的通解是

Y ( x ) = e α x ( C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x ) ) Y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x)) Y(x)=eαx(C1​cos(βx)+C2​sin(βx))

对于 f ( x ) f(x) f(x)和特征根的情况，对特解的情况做如下归纳：

若0不是方程特征解

则方程有特解 y ∗ = Q m ( x ) y^{*}=Q_{m}(x) y∗=Qm​(x)

若0是方程的单特征解

则方程有特解 y ∗ = x Q m ( x ) y^{*}=xQ_{m}(x) y∗=xQm​(x)

若0是方程的二重特征解

则方程有特解 y ∗ = x 2 Q m ( x ) y^{*}=x^{2}Q_{m}(x) y∗=x2Qm​(x).

其中， Q m ( x ) = b 0 + b 1 x + … … + b m x m Q_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+……+b_{m}x^{m} Qm​(x)=b0​+b1​x+……+bm​xm，

b i ( i = 0 , 1 , … … m ) b_{i}(i = 0,1,……m) bi​(i=0,1,……m)是需要带回原方程来确定的系数。

若 α \alpha α不是方程特征解

则方程有特解 y ∗ = e α x Q m ( x ) y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x) y∗=eαxQm​(x)

若 α \alpha α是方程的单特征解

则方程有特解 y ∗ = x e α x Q m ( x ) y^{*}=xe^{\alpha x}Q_{m}(x) y∗=xeαxQm​(x)

若 α \alpha α是方程的二重特征解

则方程有特解 y ∗ = x 2 e α x Q m ( x ) y^{*}=x^{2}e^{\alpha x}Q_{m}(x) y∗=x2eαxQm​(x).

若 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ不是特征解

则方程有特解 y ∗ = e α x ( A 1 c o s ( β x ) + A 2 s i n ( β x ) ) y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x)) y∗=eαx(A1​cos(βx)+A2​sin(βx))

若 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ是特征解

则方程有特解 y ∗ = x e α x ( A 1 c o s ( β x ) + A 2 s i n ( β x ) ) y^{*}=xe^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x)) y∗=xeαx(A1​cos(βx)+A2​sin(βx))

其中 A 1 A_{1} A1​、 A 2 A_{2} A2​是需要带回原方程来确定的系数。

形如 y ( n ) + p 1 y ( n − 1 ) + . . . + p n − 1 y ′ + p n y = f ( x ) y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}y'+p_{n}y=f(x) y(n)+p1​y(n−1)+...+pn−1​y′+pn​y=f(x)

的方程叫做高阶常系数微分方程，若 f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv0 f(x)≡0，则方程是齐次的，否则是非齐次的。下面默认方程是非齐次的。

求解此类方程分两步：

方程的解就是齐次通解和非齐次特解的和。

使用特征方程法。首先假设 f ( x ) ≡ 0 f(x)\equiv0 f(x)≡0.

列出特征方程并求解：

r n + p 1 r n − 1 + . . . + p n − 1 r + p n = 0 r^{n}+p_{1}r^{n-1}+...+p_{n-1}r+p_{n}=0 rn+p1​rn−1+...+pn−1​r+pn​=0

得到的解无非是以下四种情形：

每出现一种情形的解，通解 y ( x ) y(x) y(x)中就多出一项，各项之和就构成了整个通解。

根据下面的规则可以写出不同情况下的通解

1重实数解

设 λ \lambda λ是特征方程的一个1重实数解。

则应该为它在通解中增加这样一项：

C e λ x Ce^{\lambda x} Ceλx

k重实数解

设 λ \lambda λ是特征方程的一个k重实数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是k项）：

e λ x ( C 1 + C 2 x + . . . + C k x k − 1 ) e^{\lambda x}(C_{1}+C_{2}x+...+C_{k}x^{k-1}) eλx(C1​+C2​x+...+Ck​xk−1)

一对1重共轭复数解

设 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ是特征方程的一对1重共轭复数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2项）：

e α x ( C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x ) ) e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x)) eαx(C1​cos(βx)+C2​sin(βx))

一对k重共轭复数解

设 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ是特征方程的一对k重共轭复数解。

则应该为它在通解中增加这样一项（如果拆开括号就是2k项）：

e α x [ ( C 1 + C 2 x + . . . + C k x k − 1 ) c o s ( β x ) + e^{\alpha x}[(C_{1}+C_{2}x+...+C_{k}x^{k-1})cos(\beta x)+ eαx[(C1​+C2​x+...+Ck​xk−1)cos(βx)+

( D 1 + D 2 x + . . . + D k x k − 1 ) s i n ( β x ) ] (D_{1}+D_{2}x+...+D_{k}x^{k-1})sin(\beta x)] (D1​+D2​x+...+Dk​xk−1)sin(βx)]

当你为每一个特征方程的解写出对应的项后，把他们加起来，就得到齐次方程的通解了。

若0不是方程特征解

则方程有特解 y ∗ = Q m ( x ) y^{*}=Q_{m}(x) y∗=Qm​(x)

若0是方程的k重特征解

则方程有特解 y ∗ = x k Q m ( x ) y^{*}=x^{k}Q_{m}(x) y∗=xkQm​(x)

其中， Q m ( x ) = b 0 + b 1 x + … … + b m x m Q_{m}(x)=b_{0}+b_{1}x+……+b_{m}x^{m} Qm​(x)=b0​+b1​x+……+bm​xm，

b i ( i = 0 , 1 , … … m ) b_{i}(i = 0,1,……m) bi​(i=0,1,……m)是需要带回原方程来确定的系数。

若 α \alpha α不是方程特征解

则方程有特解 y ∗ = e α x Q m ( x ) y^{*}=e^{\alpha x}Q_{m}(x) y∗=eαxQm​(x)

若 α \alpha α是方程的k重特征解

则方程有特解 y ∗ = x k e α x Q m ( x ) y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}Q_{m}(x) y∗=xkeαxQm​(x).

若 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ不是特征解

则方程有特解 y ∗ = e α x ( A 1 c o s ( β x ) + A 2 s i n ( β x ) ) y^{*}=e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x)) y∗=eαx(A1​cos(βx)+A2​sin(βx))

若 α ± i β \alpha\pm i\beta α±iβ是k重特征解

则方程有特解 y ∗ = x k e α x ( A 1 c o s ( β x ) + A 2 s i n ( β x ) ) y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}(A_{1}cos(\beta x)+A_{2}sin(\beta x)) y∗=xkeαx(A1​cos(βx)+A2​sin(βx))

其中 A 1 A_{1} A1​、 A 2 A_{2} A2​是需要带回原方程来确定的系数。

形如

x n y ( n ) + p 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + . . . + p n − 1 x y ′ + p n y = f ( x ) x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+...+p_{n-1}xy'+p_{n}y=f(x) xny(n)+p1​xn−1y(n−1)+...+pn−1​xy′+pn​y=f(x)

的方程叫做欧拉方程，它可以变形成常系数微分方程。

变形过程如下：

做变换： x = e t x=e^{t} x=et, 或 t = l n ( x ) t=ln(x) t=ln(x)

于是

d y d x = d t d x d y d x = 1 x d y d t \frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt} dxdy​=dxdt​dxdy​=x1​dtdy​

d 2 y d x 2 = 1 x 2 ( d 2 y d t 2 − d y d t ) \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}) dx2d2y​=x21​(dt2d2y​−dtdy​)

d 3 y d x 3 = 1 x 3 ( d 3 y d t 3 − 3 d 2 y d t 2 + 2 d y d t ) \frac{d^{3}y}{dx^{3}}=\frac{1}{x^{3}}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}) dx3d3y​=x31​(dt3d3y​−3dt2d2y​+2dtdy​)

……

记 D k y = d k y d t k D^{k}y=\frac{d^{k}y}{dt^{k}} Dky=dtkdky​

则 x y ′ = D y xy'=Dy xy′=Dy

x 2 y ′ ′ = D ( D − 1 ) y x^{2}y''=D(D-1)y x2y′′=D(D−1)y

x 3 y ( 3 ) = D ( D − 1 ) ( D − 2 ) y x^{3}y^{(3)}=D(D-1)(D-2)y x3y(3)=D(D−1)(D−2)y

…

一般的， x k y ( k ) = D ( D − 1 ) . . . ( D − k + 1 ) y x^{k}y^{(k)}=D(D-1)...(D-k+1)y xky(k)=D(D−1)...(D−k+1)y.

这样，欧拉方程就是关于 y y y和 t t t的常系数微分方程。

解出 y y y后，将 t = l n ( x ) t=ln(x) t=ln(x)带入即得 y ( x ) y(x) y(x).

如有错误欢迎指出。