【高数】微分方程,公式+推导+例题,大学考试必看 |
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目录 一、一阶微分方程 1.1 可分离变量的微分方程 1.2 齐次方程 1.3 一阶线性微分方程 1.4 伯努利方程 二、二阶微分方程 2.1 二阶齐次线性微分方程 2.2 二阶常系数齐次线性微分方程 2.3 二阶非齐次线性微分方程 2.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 三、微分方程例题 第一步:求对应齐次通解 第二步:求对应非齐次特解 第三步:写出原方程通解 (原创文章,转载请注明出处) 博主是计算机专业大学生,不定期更新原创优质文章,感兴趣的小伙伴可以关注博主主页支持一下,您的每一个点赞、收藏和关注都是对博主最大的支持! 一、一阶微分方程 1.1 可分离变量的微分方程(1)一般形式: (2)求解:当 (1)一般形式: (2)求解:令: 代入原方程: (1)一般形式: (2)一阶齐次线性微分方程 若: (3)一阶非齐次线性微分方程 若: (1)一般形式: (2)求解:等式两边同除 令: 将 整理得: 求出通解之后,使用 (1)一般形式: (2)通解: (3)说明:其中 即: (1)一般形式: (2)通解: 第一步,写出特征方程: 第二步,解特征根: 第三步,分情况写通解: ① 当 通解: ② 当 通解: ③ 当 其中: 通解: (1)一般形式: (2)对于齐次方程: (3)非齐次通解=齐次通解+非齐次特解(即: (1)一般形式: (2)非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 (3)非齐次特解(重点): 对于 猜想非齐次特解: 对其求导得: 得: 有以下情况: ① 情况1:
求导并带入可解: ② 情况2:
求导并带入可解: ③ 情况3:
求导并带入可解: 举例: 例1:m=1,λ=2;λ满足: 则通解一般形式可设为: 例2:m=2,λ=0;λ满足: 则通解一般形式可设为: 最后给出一道例题,巩固以上知识点 例题:求微分方程 解析如下 第一步:求对应齐次通解对应齐次方程: 特征方程: 其中: 则对应齐次通解:
由: 则非齐次特解一般形式:
一阶导数: 二阶导数: 将①②③代入原方程整理可得: 解得: 则对应非齐次特解: 若有不妥之处,恳请读者批评指正 |
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