高等数学:第六章 定积分的应用(2)平面图形的面积 |
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§6.2 平面图形的面积 一、直角坐标的情形 由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成的曲边梯形面积。 其中:为面积元素。 由曲线 与 及直线 ,( )且所围成的图形面积。
其中: 为面积元素。 【例1】计算抛物线与直线所围成的图形面积。 解:1、先画所围的图形简图 解方程 , 得交点: 和 。 2、选择积分变量并定区间 选取为积分变量,则 3、给出面积元素 在上, 在上, 4、列定积分表达式 另解:若选取为积分变量,则 显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 【例2】求椭圆所围成的面积 。 解:据椭圆图形的对称性,整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。 取为积分变量,则 , 故 ( * ) 作变量替换 则 , ( * * ) 于是,我们可给出曲边梯形的曲边由参数方程给出时,其面积计算公式 设曲边梯形的曲边由参数方程 给出,曲边梯形的面积计算公式为 其中:及分别曲线的起点与终点的所对应的参数值。 二 极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线,所围成的曲边扇形。 取极角为积分变量,则 ,在平面图形中任意截取一典型的面积元素,它是极角变化区间为的窄曲边扇形。 的面积可近似地用半径为, 中心角为的窄圆边扇形的面积来代替,即 从而得到了曲边梯形的面积元素 从而 【例3】计算心脏线所围成的图形面积。 解: 由于心脏线关于极轴对称,
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