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1. 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是经典控制理论中的重要数学工具，它可以把一个时域上的函数转换成一个复数域上的函数，从而简化系统的分析难度。 定义 电路系统 其中e(t) 表示电压、i(t)表示电流、L表示电感、R表示电阻紧接着，定义：这个动态系统的输入为电压u(t) = e (t),输出电流为x(t) = i (t),那么上述的公式就变成了： 这里系统的输入和输出就是一个卷积运算的关系，用公式表示如下： 这样的话，直接求解就是十分的复杂拉普拉斯变换
对于一个函数f（t）做拉普拉斯变化，可以将其从时域(t)上转换到复数域上（s）,他的定义为: 这里的s是一个复数：
 拉普拉斯的逆变换
2. 传递函数和系统设计
传递函数
传递函数是控制理论的基础。 系统的传递函数的定义是：在零初始状态下，系统输出的拉普拉斯变换与系统输入的拉普拉斯变换之间的比值，即：
这里的G（s）就是传递函数。 这里我们参照定义那一部分中电流电压之间的关系，我们就可以继续推算： 首先对下面这个式子两边同时做拉普拉斯变换： 可以得到：
 考虑零初始状态，x(0) = 0,那么上述的式子可以优化为：
 那这样我们就能得到传递函数为：
 得到传递函数之后，我们的任务并没有结束，还要继续往下演算，因为传递函数并不是我们最终的目标，我们的最终目标是要得到输出的准确表达式，才能得到我们这个系统的变化，才能更好地分析。当我们输入的是一个常数C，在这个系统中，也就是u(t) = C,那么对应的拉普拉斯变换是：
 那我们再次带入传递函数中，我们可以得到：
 现在得到的输出的拉普拉斯变换，那我们想要进一步进行化简的话，可以使用拉普拉斯的逆变换：
 因式分解法再化简一步，求接触A、B的值之后，得到X(s)的值应该是： 再对等式两边进行拉普拉斯逆变换，这样就能得到系统真正的输出，应为：
 这样就得到了最终的输出函数，我们紧接着分析这个函数，我么可以得到，系统的输出将从0开始，并且随着时间，不断地接近一个值C/R。所以，系统的输出是有界的，并且随着时间的增加会趋向于常数C/R。我们同样，在x(t)的拉普拉斯变换中，可以推导出函数的零点，也就是当X(s)的分母等于0的时候，我们就可以得到：
 sp1、sp2就代表着系统输出的极点，它可以直接通过传递函数的特征方程直接得到。
通过以上的分析我们可以得到，在得到系统的传递函数之后，便可以通过简单的代数计算得到系统输出的极点，并且以此为依据快速判断系统的表现。 控制系统传递函数 开环控制系统（Open Loop Control System） 如图所示的是开环控制系统，其中：R(s)是参考值或者也可以叫目标值、C(s)是控制器，G(s)叫做控制系统的开环传递函数。控制量是U(s)也叫原动态系统的输入。控制系统的输出=原动态系统的输出X(s) 从这个图中我们也可以看出来，控制系统的本质上也是一个动态系统，从参考值R（s）(同时也是控制系统的输入，又称为参考输入)到系统输出X（s）是一个串联的结构，也就是：
 我们可以从这个公式中再分析，U(s) =R(s)C(s),这也就是说明输出量X(s)是对与输入量是没有影响的。
闭环控制系统
如果我们将输出X(s)反馈到输入端，那么就可以形成一个闭环的控制系统，其中，参考值与输出值之间的差称为误差（Error）,E(s) = R(s)-X(s)，对应的时间函数是e(t) = r(t) - x(t)，控制器将根据误差决定控制量U(s)。
 根据传递函数的代数性质，可得：
 将E(s) = R(s) - X(s)带入上式中，可得：
 定义控制系统的闭环传递函数为：
 这样的话，我们就可以得到一个简化后的闭环控制系统框图：
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