目录

1相机模型概述

2相机标定的主要内容：

径向畸变模型：

偏心畸变模型：

薄透镜畸变模型：

像平面畸变模型

2传统相机标定方法

2.1基于单相机的空间后方交会

2.2光束法

2.3直接线性变换（DLT）

2.4非线性优化

2.5Tasi的两步法

2.6张正友标定法

3基于主动视觉的方法

4自标定方法

4.1基于Kruppa方程的自标定

4.2基于灭点自标定

4.3光束法自标定

5三种方法优缺点总结

写在前面的话：

参考了国内外一些文献，写了这篇综述，转载请标注出处。

另外关于相机标定的一些基本原理，可以参考计算机视觉中的经典书籍，或者摄影测量学中的书籍。

二者侧重方向不一致：计算机视觉中侧重简捷性，而摄影测量则更侧重精度。因此二者在方法上存在一些差异。另外二者在一些理论表述上也有一定区别。

如果你想快速了解一些基础理论并快速上手，这篇博客的总结也许对你有些直观地帮助：https://blog.csdn.net/lxy_2011/article/details/80675803

相机标定方法简介

 数字相机的误差不仅可能由光学镜头的畸变与机械误差引起，还可能由视频信号的模/数转换产生。它们分别称为光学误差、机械误差和电学误差。光学误差主要是指光学畸变差。是指摄影机物镜系统设计、制作和装配误差所引起的像点偏离其理想位置的点位误差。理想的透镜成像是针孔模型，物与像满足相似三角形关系，而实际的透镜并不满足这个条件，成像总存在缺陷，即光学畸变差。此时任一物方空间光线通过物镜进入像空间时是弯曲的，即物方空间光线和主光轴的夹角与像空间光线与主光轴之间的夹角不同。光学畸变差（主要）包括了径向畸变差(Radial Distortion)和离心畸变差(Decentering Distortion)两类。径向畸变差使构像点沿向径方向偏离其准确位置;而离心畸变是由于镜头光学中心和几何中心不一致引起的误差，它使构像点沿向径方向和垂直于向径方向都偏离其理想位置。机械误差是指从光学镜头摄取的影像转化到数字化阵列影像这一步产生的误差。这项误差又是由这两个因素引起的:(1)扫描阵列不平行于光学影像，致使数字化影像相对于光学影像有旋转;(2)每个阵列元素尺寸不同而产生不均匀变形。电学误差主要包括行同步误差、场同步误差与采样误差。行同步误差是指视频信号转化时影像每行开头处的同步信号产生的错动现象，场同步误差是指影像奇数行与偶数行间的错位，采样误差是指由于时钟频率不稳引起的采样间隔误差。

一般我们只考虑光学畸变影响。

理想情况下，相机模型为针孔模型，针对理想透镜的状况，相机各种坐标系的变换就成了一种线性的投影变换，即日常生活人们俗称的小孔成像（理想情况下此时只考虑内外参即可）。而在实际情况下，相机拍摄的图像与实际图像会有一些的偏差，这是相机的镜头会由于加工过程、外力作用等因素而产生一定程度的畸变所导致的（非理想模型要加入畸变模型进行修正，因此引入了畸变参数）。特别是当相机镜头为广角镜头时，按照理想情况下的模型就不能确切地表述成像的几何关系了。相机的非线性模型是用以描述实际情况下由于某些因素造成的成像畸变，而不能用针孔模型来准确描述的情况。相机的非线性模型是用以描述实际情况下由于某些因素造成的成像畸变。

而不能用针孔模型来准确描述的情况。

偏心畸变差一般是由镜头制造和安装等误差引起的,它们使构像点沿向径方向和垂直于向径的方向相对其理想位置都发生偏离。构像点沿向径方向和垂直于向径的方向,相对其理想位置都发生偏离,其向径方向的称之为非对称径向畸变,垂真于向径方向的称之为切向畸变。

离心畸变的径向分量和切向分量与其在图像坐标的横轴方向和纵轴方向的分量可以进行一定转换：

偏心畸变模型可以表示为

或者[1]

二者等价。

薄透畸变是由于镜头设计缺陷和加工安装误差所造成的,如镜头与像机相面有小的倾角等。这类畸变相当于在光学系统中附加了一个薄棱镜,不仅引起径向位置偏差而且引起切向位置偏差,其数学模型为: 

我们把径向畸变系数，偏心畸变系数，薄透镜畸变系数等统称为非线性畸变参数，我们不考虑高阶分量，是因为高阶分量不但不能提高解的精度，并且还可能造成解的不稳定。一般情况下，相对于离心畸变和薄透镜畸变而言，相机拍摄的图像中的径向畸变是造成图像畸变的最主要原因。tasi曾经指出，如果把离心畸变和薄透镜畸变等都考虑进非线性模型中去，则在对相机进行标定时需要引入过多的非线性参数。对非线性参数求解过程中使用的非线性优化算法会因引入的畸变系数增多而引起解的不稳定，同时也不能保证精度的提高。但是也有实验研究表明，在使用广角镜头时，第二项离心畸变和第三项薄镜头畸变能够提高其模型的精度。

十参数模型是一种物理模型,依据相机成像过程中各种物理因素的影响而设计,是摄影测量领域,尤其是数字工业摄影测量领域应用最为广泛的相机畸变模型。十参数模型除包括主距f、像主点坐标(x0, y0)等，还包括镜头径向畸变、偏心畸变和像平面畸变等3类畸变参数（在这里没有考虑薄透镜畸变）。

像平面畸变包括像平面内的平面畸变和由像平面不平引起的非平面畸变。传统相机的像平面畸变即为胶片平面不平引起的畸变,可以用多项式建模并改正。而数码相机的影像传感器由于采用离散的像敏单元成像,其非平面畸变很难用多项式来建模和准确描述。

像平面内的畸变通常可以简化成像素的长宽尺度比例因子和像平面x轴与y轴不正交所产生的畸变,其表达式为 

所谓传统的相机标定方法是指用一个结构已知、精度很高的标定物或控制场作为空间参照物,

通过空间点和影像点之间的对应关系来建立相机内参数的约束,然后通过优化算法来求取这些参数。

可以分为

单张像片的空间后方交会、多张像片的空间后方交会—两种方法均可同时求取内外方位元素和畸变参数，不过第二种方法每张像片的外方位元素都不一样。

基于实验场的空间后方交会法是一种传统的标定方法，它需要高精度的控制场作为参照物，通过控制场的空间点与影像点之间的对应关系，经过一系列数学变换得到相机参数。

空间后方交会的优点尤其是多片空间后方交会的优点是精度高，其中，多片空间后方交会得到了更为广泛的应用。但是它一般情况下后方交会需要良好的初值作为前提[6]但是当三维控制场在各方向有足够的延伸时，无需起始近似值，仅且经过1-2次迭代即可完成全部运算

特别地可在同一站拍摄两张像片,两像片的旋角相差大约90°,这种安排的目的是减少主点位置与外方位直线元素之间的相关性,以克服单像空间后方交会法解算主点位置精度偏低的缺陷。

光束法是一种整体解算的方法，使用编程迭代时也需要初始值，解算步骤更为复杂，各个待求点的数量级不一致，有可能造成不收敛的情况。

直接线性变化也需要借助控制点和实验场来完成标定，但是他的精度仅仅与单片空间后方交会的精度相当。这种方法是构建在理想的针孔模型（不考虑畸变参数）的基础上的，涉及到的参数比较少、计算过程简单快速，但是没有考虑相机成像过程中造成的非线性畸变，所以准确性不佳，鲁棒性不好。（所以能利用这种方法快速求取内外方位元素，作为初值，再结合后方交会求取精确的内外方位元素和畸变参数，可以参见这类论文。）

理想条件下相机构造的成像模型应该是线性的，但是在实际生活中应用时不能真正

的完全满足这个理想条件，非线性优化算法在选择的初值合适时，能得到精度较高的结

果，但是该算法过程十分复杂，对初值的选择和周围的噪声较敏感，而且不一定可以保

证求解出的参数收敛到全局最优解，因此该方法不适应于实时性要求高的环境。

该方法巧妙地结合了传统的线性法和非线性优化

方法的优势。首先选用了直接线性变换法对相机的参数进行预估计，将线性的参数作为

模型的初始值，加入畸变因子到成像模型中，再选用非线性优化方法提高求解参数精度，

所以称之为两步法。该方法的核心是利用径向一致约束来求解除(像机光轴方向的平移)外的其它像机外参数,然后再求解像机的其它参数。基于RAC方法的最大好处是它所使用的大部分方程是线性方程,从而降低了参数求解的复杂性,因此其定标过程快捷,准确。但是该方法假设相机模型只存在径向畸变，没有考虑切向畸变，这个假设与具体应用情况不相符。

张正友方法通过不同位置和方向的几个平面网格模板来求解内部参数,然后再计算摄像机的外部参数,进行摄像机的标定。这种标定方法既具有较好的鲁棒性,又不需昂贵的精制标定块很有实用性。但张正友方法在进行线性内外参数估计时,由于假定模板图像上的直线经透视投影仍然为直线,进而进行图像处理,获得亚像素精度的点坐标实际上引人了误差,所以在广角镜畸变比较大的情况下校正效果偏差比较大。

基于主动视觉的标定方法指的是利用相机的某些运动信息来标定相机相关参数的方

法。我们将相机固定在一个平台上，且该平台可以被精确控制，平台的参数可以从计

算机中精确地读取，于是，我们只需要利用相机作特殊的运动来获取多幅图像，从而由

己知的相机参数和图像来求得相机的内参数与外参数。基于主动视觉标定方法的特点是：

需要将相机的某些运动信息定量化。它的优点在于通常可以线性求解因此解的稳定性高，

鲁棒性也比较高，缺点在于不能使用不能很好定量化的相机运动未知或者相机的运动情

况无法控制的场合。

自标定方法克服了传统方法需要标定物的缺点,它不需要标定物,仅仅依靠多视图对应点之间

的关系直接进行标定。 自标定主要有：基于基础矩阵和本质矩阵的自标定、Kruppa 方程的自标定、消失点（灭点）的自标定、利用绝对二次曲线或者面上的圆环点标定、分层重构算法，以及利用光束法自标定方法等等。

计算机视觉中自标定方法大多是基于绝对二次曲线或者绝对二次曲面的方法,需要直接或间接地求解方程。

自标定其优点在于只需要对多幅图像之间的对应关系进行求解，因此具有高的灵活性和潜在应用范围；缺点在于此标定方法精度较低，鲁棒性较差，因此载对精度要求不算高的情况下可以使用该方法。

Kruppa方程是最早出现的自标定算法，表征了内参数与对极关系，从射影几何的角度出发，阐述了两幅图像之间有着2个形式如Kruppa方程的非线性约束。吴福朝（具体见《计算机视觉中的数学方法 》）等研究者们找出了Kruppa方程非鲁棒性的本质原因：1)方程构造的函数在进行计算时取最小点的环境内存在一个比较大的光滑区域，而且想要在这个光滑的区域上去搜寻最小点是特别棘手的。2)由于这个光滑区域存在着特别多的极小点，在具体计算时用迭代法求最小值的操作中非常难去设定初始值。3)目标函数的最小值在实际环境中存在特别小的噪声的影响时会经常容易受到强烈的影响，从而导致和应该得到的值差距较大，产生比较大的差距。分析及研究了以上存在的这么多问题，吴福朝等人得出结论：如果基础矩阵和极点的误差特别小，函数的最小值所对照得到的内参值特别接近应该得到的值，因此基础矩阵F和极点e的误差解释了Kruppa方程鲁棒性的优劣，在此基础上，很多研究者们都对此进行了深入的探讨，针对Kruppa方程本身鲁棒性不好而开展了一系列的改进工作，并且都取得了一定的研究成果。

使用了透视投影的关系，平行线或者平行的面相交在无穷远处的点(线)，通过内参的约束关系求解垂直消失点对应的比例因子来标定内外参数。如果几何场景中包含特殊结构信息较少不宜使用此种方法，否则标定精度较低，所以该方法有一定的局限性。

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