但对于多数的传染病，感染者在感染后有一定的恢复概率，在人群中也有易感者及不易感者，且大多数的传染病存在潜伏期，医疗机构及政府也会采取一定的防治措施，因此SI模型在实际预测中并不适用。

2) 基于SI模型基础上的传染病模型，简称SIR模型：

把整个人口分为3类，易受传染者(Susceptiblehosts)、传染者(Infectedhosts)、病愈后具有免疫力者(Recovered and immune hosts)。得出的排除（痊愈患者)人数变化率近似等于:

其中，A、β、ψ都是正常数，模型假定S到I的变化速度α、从I到R的变化速度β是保持不变的，可以通过曲线拟合确定。虽然此模型较SI模型有了很大进步，但是以上两种模型都没有考虑传染病的潜伏期，从患病到治愈的恢复期等。

3）SEIR （带潜伏期的恶性传染病模型 ）

后来又在Kermack模型的3类人中增加一类人，即感染而未发病者(exposed hosts)。由这4类人的关系可以得到更复杂的传染病微分方程模型：SEIR（假设病愈后获得终生的免疫力）。然而，以上模型描述的都是传染病的自然发展过程，没有考虑人的因素，当人被发现患病后，会采取有效的措施进行控制，隔离或者治疗，因此使用该模型时要注意应用条件的限制。

这种模型刻画的传染病为：传染潜伏，确认感染，治疗后康复后患者体内产生抗体不再感染该疾病：

假定总人口数为N，疾病流行期间，人口出生率和自然死亡率分别为μ和υ，不考虑因病死亡，新增人口都是易感人群，传染人数为βSI/N，潜伏期确诊感染率为σ，康复率为γ。

整个模型可以表达为以下公式：

总体而言，如果不考虑有效的防控措施，在SEIR模型中四类人在整个疾病过程中的变化趋势如下，易感人群的数量会逐渐下降，潜伏者及感染者会到达峰值后下降，感染者的峰值会出现在潜伏者峰值之后，恢复者的人数会逐渐上升。

★拓展1

另外，有一个网站提供十分便捷的模型趋势预测，只要在网站上填入相应的参数以及各变量的起始值，就可以一键运算出疾病的变化趋势，该网址为：

http://www.public.asu.edu/~hnesse/classes/seir.html

如上图，在网站上输入各个参数值后并提交，就可形成模型中四个元素（S, E, I, R）的变化趋势。

★ 拓展2

最近钟南山院士团队发表的一篇名为“Modified SEIR and AI prediction of the epidemics trend of COVID-19in China under public health interventions（基于SEIR优化模型和AI对公共卫生干预下的中国COVID-19暴发趋势预测）”的文章中，使用的就是改进版的SEIR模型，因为在实际的传染性疾病发展中，大多数的人群的是流动的，有迁入人口也有迁出人口，因此在钟院士团队的文章中，他们加入了控制人口流动的参数，将原有的模型修改为

在原有的模型基础上增加了两条动线，迁入动线（In）及迁出动线（Out），原来的公式也有所改变，模型中的两大人群，易感人群以及暴露人群都增加了流动元素。改进后的模型更加符合实际的疾病传染流动特点。该文章针对湖北、广东以及浙江三省的实际情况对后续的疾病发展趋势进行了预测。下图是文章中给出的三省人口流动指数变化：可见在三省中，广东省的人口流动指数最大，浙江次之，湖北最低，三省均在一月下旬时达到人口流动的顶峰。

该文章使用改进后的SEIR模型对现存新型肺炎感染人数（现存，即排除已死亡及已痊愈）进行了预测，分别预测三条曲线，蓝色曲线代表在1月23号实施防治措施后的变化，灰色曲线代表在1月23号后五天（1月28日）再实施防治措施的变化趋势，红色曲线代表在1月23号前五天（12月底）实施各种防治措施的变化趋势，即比较实施防治措施时间不同对疾病感染人数变化的影响。

上图为该模型针对全国的预测结果，可见总体而言，如果防控措施晚实施五天，全国总体现存患病人数将会大大增加，如果防控措施早实施五天，则感染人数大大降低。该模型预测全国现存患病人数将在2.28达到峰值，人数为59,746例（95% CI：51,979-70,172）。且预测的累计确认人数为122,122例（95% CI：89,741-156,794）。

通过国家卫健委的网站查询以及丁香医生网站查询到全国实际现存确认人数情况如下：

在实际情况中，全国现存确认人数在2.17日达到峰值，人数为58,016人，与钟院士团队预测的峰值人数接近，但是峰值时间前移至2.17，提前了约10天。可见全国采取的防控措施有效。

除了微分方程以外，在实际预测中使用的模型还有很多，包括余弦模型，灰色预测模型，贝叶斯模型以及人工神经网络模型等等。

参考文献：

1. 王丙刚, 曲波, 郭海强, etal. 传染病预测的数学模型研究[J]. 中国卫生统计, 2007, 024(005):536-540.

2. Pulse vaccination strategy in the SIR epidemic model[J]. Bulletin ofMathematical Biology, 1998, 60(6):1123-1148.

3. Feng Z , Iannelli M , Milner F A . A Two-Strain Tuberculosis Model with Ageof Infection[J]. Siam Journal on Applied Mathematics, 2002, 62(5):1634-1656.

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