y = x n x^n xn

d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 ( x + Δ x ) n − x n Δ x \frac{dy}{dx}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} \quad dxdy​=Δx→0lim​Δx(x+Δx)n−xn​

( x + Δ x ) n (x+\Delta x)^n (x+Δx)n可以通过二次项定理展开

二项式定理点击这里

( x + Δ x ) n = C n 0 x n + C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 1 Δ x 2 + . . . . . + C n n Δ x n (x+\Delta x)^n = C^{0}_{n}x^n +C^{1}_{n}x^{n-1}\Delta x+C^{2}_{n}x^{n-1}\Delta x^2+.....+C^{n}_{n}\Delta x^n (x+Δx)n=Cn0​xn+Cn1​xn−1Δx+Cn2​xn−1Δx2+.....+Cnn​Δxn

C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C^{m}_{n}= \frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm​=m!(n−m)!n!​

C n 0 = C n n = 1 C^{0}_{n}=C^{n}_{n} = 1 Cn0​=Cnn​=1

d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 x n + C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 1 Δ x 2 + . . . . . + Δ x n − x n Δ x \frac{dy}{dx}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^n +C^{1}_{n}x^{n-1}\Delta x+C^{2}_{n}x^{n-1}\Delta x^2+.....+\Delta x^n-x^n}{\Delta x} \quad dxdy​=Δx→0lim​Δxxn+Cn1​xn−1Δx+Cn2​xn−1Δx2+.....+Δxn−xn​

分子第一个 x n x^n xn和最后一个 x n x^n xn约掉 d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 C n 1 x n − 1 Δ x + C n 2 x n − 1 Δ x 2 + . . . . . + Δ x n Δ x \frac{dy}{dx}= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C^{1}_{n}x^{n-1}\Delta x+C^{2}_{n}x^{n-1}\Delta x^2+.....+\Delta x^n}{\Delta x} \quad dxdy​=Δx→0lim​ΔxCn1​xn−1Δx+Cn2​xn−1Δx2+.....+Δxn​

分子和分母都含有 Δ x \Delta x Δx ，可以约分，

d y d x = lim ⁡ Δ x → 0 C n 1 x n − 1 + C n 2 x n − 1 Δ x + . . . . . + Δ x n − 1 \frac{dy}{dx}= \lim_{\Delta x \to 0} {C^{1}_{n}x^{n-1}+C^{2}_{n}x^{n-1}\Delta x^+.....+\Delta x^{n-1}}\quad dxdy​=Δx→0lim​Cn1​xn−1+Cn2​xn−1Δx+.....+Δxn−1

解这个极限， Δ x \Delta x Δx趋近0的时候，直接带入该极限，

d y d x = C n 1 x n − 1 \frac{dy}{dx}= {C^{1}_{n}x^{n-1}} dxdy​=Cn1​xn−1

C n 1 = n C^{1}_{n} = n Cn1​=n

d y d x = n x n − 1 \frac{dy}{dx}= {nx^{n-1}} dxdy​=nxn−1

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