只用圆规，便可以作出一切能用尺规作出的点！

所以我们怎么证明圆规作图等价于尺规作图呢？

先看尺规作图的“五项公法”：

(1) 根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。

(2) 以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。

(3) 确定两个已经做出的相交直线的交点。

(4) 确定已经做出的相交的圆和直线的交点。

(5) 确定已经做出的相交的两个圆的交点。

尺规作图的所有操作，都是根据这两大公法来的，于是只要我们证明了圆规作图可以完成这五项公法，就等价于尺规作图。

略去第一点不看，我们需要作两大终极作图：

①作已知两直线的交点

②作一直线与一圆的交点

接下来，我们不妨小小地历练一下呢。

倍长线段

已知：一线段的两端点A，B。

求作：一点E，使得AB=BE。

这个问题极为简单。

①以B为圆心，AB长为半径作圆。

②以A为圆心，AB长为半径作圆，与以B为圆心的圆相交于点C

③以C为圆心，AC长为半径作圆，与以B为圆心的圆相交于点D

④以D为圆心，CD长为半径作圆，与以B为圆心的圆相交于点E

证明不用说了吧。

作点关于已知直线的对称点

已知：一直线上两点CD以及不在直线CD上的一点A

求作：一点B，使得AC=BC，AC=BD

这个问题更加简单。

①以C为圆心，AC为半径作圆。

②以D为圆心，AD长为半径作圆与以C为圆心的圆交于点B

作等腰三角形的外心

已知：一圆以及圆上两点A，B，圆心为O，则有OA=OB，于是△OAB是等腰三角形

求作：一点C，使得AC=BC=OC（其实就是△ABC的外心）

①作点O关于直线AB的平行线D

②以D为圆心，OD长为半径作圆与已知圆相交于两点E，F

③作点O关于直线EF的对称点C

证明：先证明△OEC∽△ODE，于是OE/OC=OD/OE。把OE替换成OA，则有：

OA/OC=OD/OA，所以△OAC∽△ODA，因为OA=DA，所以就有AC=OC，证毕。

这里可以看出相似三角形也是圆规作图的重要方法。

四等分圆周

这是意大利数学家Lorenzo Mascheroni向拿破仑提出的问题，不知道拿破仑解出过没有。。

已知：平面上一圆，圆心为O

求作：圆O的四个四等分点A，B，C，D。

①在圆上随便找一点A，倍长线段OA交圆于点C，并且第一次作圆与圆的交点为P，第二次交点为Q。

②以A为圆心，AQ长为半径画圆。（设这个圆叫大圆emmmm）

③以C为圆心，CP长为半径画圆，设两大圆其中一个交点叫X

④以A为圆心，OQ长为半径画圆与圆交于两点B，D，于是我们成功四等分圆周。

证明不难，设半径为r，则AQ=CP=AX=√3·r。而AO=r，勾股易得OQ=(√2)/r。于是圆周的四等分点就作出了。

作已知线段的中点

已知：一线段的两端点A，B。

求作：AB的中点。

①以B为圆心，AB长为半径作圆，并倍长线段AB与圆交于点C

②以C为圆心，AC长为半径作圆与以A为圆心的圆交于两点D，E

③作点A关于DE的对称点F，于是点F就是AB的中点。

证明依旧简单。

先证明△ACD∽△ADF，于是有AC/AD=AD/AF，因为AC=2AB，而AD=AB，所以自然有

AB/AF=2，是不是很简单？

于是，有了上面这几个辅助作图，我们可以完成两个终极作图了。

作圆与直线的交点（1）

已知：圆心为O的圆和两点AB

求作：直线AB与圆的交点

①作点O关于AB的交点O'

②以O'为圆心，已知圆半径长为半径作圆交已知圆与两点C，D。

证明简单到爆。

AB垂直平分OO'，所以只要有CD垂直平分OO'，C，D又在圆上，就能证明C，D是AB，与已知圆的交点。

但是，真的这么简单？

如果A，B在圆的直径上呢？？？

emmmmm，这需要我们深入思考。

作圆与直线的交点（2）

已知：点O为圆心的圆和圆外一点A

求作：圆O与直线OA的两个交点M，N

①找OA的中点P，以P为圆心，OP长为半径作圆交已知圆于点X，并以O为圆心，OA长为半径作圆。

②作出圆OA的四个四等分点A，B，C，D

③以点C为圆心，AX长为半径作圆与圆OA交于两点EF

④作B关于EF的对称点G

⑤找出线段DG的中点Q，以Q为圆心，QD长为半径作圆与已知圆交于两点M，N，于是这两个点即为交点。

证明：先证明△BOE∽△BEG，则有BO/BE=BE/BG，设已知圆半径为r,圆OA半径为R，则有

BE^2=R·BG。

勾股得BE^2=AX^2=OA^2-OX^2（直径所对的圆周角是直角）=R^2-r^2

于是有R^2-r^2=R·BG，R·OG=r^2，易得OD·OG=OM^2（emmm其实这里相交弦定理的推论就可以证明，我有点傻）

又有DM⊥GM，Q是DG中点，则有OD·OG=DQ^2-OQ^2=MQ^2-OQ^2

于是OQ^2+OM^2=MQ^2，勾股定理的逆定理得出BD⊥OM，同理BD⊥ON，于是M,O,N,P共线，因为A,O,P共线，所以M,N,A,O共线，证毕。

mdzz我到底写了点什么。

Ps：如果点A在圆内，并不能直接使用这种方法，但是无限倍长AO，总会倍长出已知圆。

作两直线的交点

已知：平面上四点A,B,C,D

求作：AB与CD的交点P

①作C，D关于直线AB的对称点C'，D‘

②作点A关于直线CD和C'D'的对称点A',A''

③作△AA'A''的外心P，点P即为交点

对称性易证AA'=AA''，所以△AA'A''是等腰三角形，外心即为交点。

会出现三种分歧:

I.若A,A',A''三点重合，则A即为所求交点

II.若A',A''重合，但不与A重合，则作AA'的中点即可

III.若A,A',A''共线，说明AB//CD，两直线永不相交。

自此，两个终极目标得以解决，我们证明了圆规作图等价于尺规作图。

累死我了，忙活了一晚上。。。