第一讲 电梯与发车

教学目标

1、电梯问题的概念及三种情况；

2、行人与车同向时的追及问题和行人与车反向时的相遇问题；

知识点拨

一． 扶梯问题：

1、扶梯问题的概念及三种情况

在自动扶梯上行走的问题，与流水行船问题类似，其中扶梯运行的速度相当于水流速度，人在扶梯上行走的速度相当于船在静水中的速度。

（1）当人站在扶梯上不动时，人上升或下降的速度就是扶梯的速度。

（2）当人站在扶梯上行走且方向与扶梯运行方向一致时，我们称为顺行。

           顺行速度=正常行走速度+扶梯运行速度

（3）当人站在扶梯上行走且方向与扶梯运行方向相反时，我们称为逆行。

           逆行速度=正常行走速度-扶梯运行速度

2、扶梯问题中的两个基本关系

（1）顺行时   扶梯的长度=行人走的台阶数+扶梯运行的台阶数

（2）逆行时   扶梯的长度=行人走的台阶数-扶梯运行的台阶数

二． 发车问题：

与公共汽车发车过程类似，可以把第一辆车与第二辆车之间的距离称为一个汽车间距

1、行人与汽车同向行驶时为追及问题

       汽车间距=（汽车速度－行人速度）×追及时间间隔

2、行人与汽车反向行驶时为相遇问题

       汽车间距=（汽车速度＋行人速度）×相遇时间间隔

例题精讲

例1：小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？

【教学建议】

【思路导航】 方案一：设电动扶梯共有[12,30]=60（级）

所以，电梯的速度：60÷30=2级/秒

电梯与小明的速度和：60÷12=5级/秒

所以，小明上楼的速度：5-2=3级/秒，所以小明上楼梯的时间为：60÷3=20秒

方案二：设楼梯阶梯数为单位“1”

那么电梯的速度：1÷30=

电梯与小明的速度和：1÷12=

所以，小明上楼的速度： － = ，所以小明上楼梯的时间为：1÷ =20秒

拓展练习：如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着向下走需 秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？

【思路导航】  类同例题

例2：小丁搭一座电扶梯下楼．如果他向下走 阶，则需时 秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走 阶，则需时 秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？【思路导航】  由题意可以知道：

电梯阶梯数=14+30*V电梯=28+18*V电梯

可以发现，小丁如果多走28-14=14阶，电梯就少用30-18=12秒

所以电梯的速度=14÷12= 阶/秒

所以电梯阶数= *30+14=49阶

拓展练习：在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过 级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶？

【思路导航】 与例题相比，少了电梯走的时间，所以找出时间，解法与例题相似！

例3：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

【思路导航】 因为男孩走的级数与女孩走的关系为：80÷40=2倍

根据题意，他们上下楼梯所花的时间刚好相同。

所以，有关系如下，楼梯级数=40+V电梯*T=80－V电梯*T

所以 V电梯*T=（80-40）÷2=20阶

所以   楼梯级数=20+40=60阶

拓展练习：在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下 级台阶到达底部，然后从底部上 级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的 倍．则该自动楼梯共有多少个台阶？【思路导航】 小明 下楼 与 上楼走的楼梯数关系为  120：90=4：3

小明 下楼 与 上楼 的速度关系为  2：1

所以小明下楼与上楼的时间比为 （4÷2）：（3÷1）=2：3

所以，根据题意，有关系如下，120－V电梯*2T=90+ V电梯*3T

所以  V电梯* T=（120-90）÷5=6阶

所以自动楼梯台阶数= 120-6*2=108阶

例4：小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？

【思路导航】 小志行走的阶梯数为 2*28=56阶；小刚行走的阶梯数为3*20=60阶；

下面的思路与例2类似。

楼梯阶数= 56+V电*28=60+V电*20

所以 V电=(60-56)÷（28-20）=0.5阶/秒

所以楼梯阶数=56+0.5*28=70阶

所以小志攀登静止电梯用时为 70/2=35秒

拓展练习：自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走 级，女孩每分走 级，结果男孩用了 分到达楼上，女孩用了 分到达楼上．问该扶梯露在外面的部分共有多少级？【思路导航】  与例题类似。

例5：甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？

【思路导航】 第一种情况下，甲走的可见楼梯数

第二种情况下，甲走的可见楼梯数

所以

那么，在甲与乙第一次相遇的过程中，甲走的可见楼梯数

乙走的可见楼梯数

且

所以， ，那么 级

所以，自动扶梯不动时甲从下到上要走40级.

拓展练习：小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?

【思路导航】 小淘气向下走时，可见楼梯数=

小淘气向上走时，可见楼梯数=

所以 ，所以

得 （用线段图画出表示的意思，学生就可以明白其中的含义）

所以 （级）

所以可见楼梯数=

例6：A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路，每天上午8点到11点从AB两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B站单程需105分，从B 站到A站单程需80分。问：

（1)8:30、9:00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？

（2）从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？ 

拓展练习：甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行．每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车．已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了多少分钟？

例7：从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每隔15分钟遇上迎面开来的一辆电车。且甲的速度是乙的速度的3倍，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？

【思路导航】 相邻两辆电车之间的距离=10*（V甲+V电）=15*（V乙+V电）

又因为V甲=3 V乙，所以10*（3 V乙+V电）=15*（V乙+V电）

所以30 V乙+10 V电=15 V乙+15 V电

所以 ，所以

所以，电车发车间隔=15+15÷3=20分钟

拓展练习：在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？

【思路导航】 与例题类似，变相遇为追及

例8：从电车总站每隔一定时间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上反方向步行．甲沿电车发车方向每分钟步行 米，每隔 分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行 米，每隔 分遇上迎面开来的一辆电车．那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【思路导航】 两电车之间的间隔=（V电-60）*20=（V电+80）*10

所以V电=（20*60+80*10）÷10=200米/分

电车的发车时间间隔=20-20*60÷200=12分钟

拓展练习：某人沿着电车道旁的便道以每小时 千米的速度步行，每 分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【思路导航】 与例题相似，较简单。

例9：某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就会有一艘货船迎面开过，已知AB两港间货船的发船间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是多少分钟？

【思路导航】 设发出时间间隔为T

由题意可以知道，V货=7V水

所以，在追及过程中，货船为顺水航行，所以间距为（V货-V游）*40=8 V水*T

在相遇过程中，货船为逆水航行，所以间距为（V货+V游）*20=6 V水*T

所以两个间距的比例为

所以 ，所以 ，即 ，即

所以：（V货-V游）*40=（7V水- ）*40=8 V水*T

V水=28分钟

拓展练习：小峰骑自行车去小宝家聚会，在途中小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超过自己，半路上自行车发生故障，小峰只好弃车打的前往小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰汽车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，那么公交车的发车时间间隔为多少分钟？

选做：

1、甲城的车站总是以20分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆（包括自行车）上坡和下坡的速度分别是平路上的80%和120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，已知该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？

2、小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔12分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔4分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？

3、有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶312千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠，当然实现这一计划需要几辆车相互借用汽油．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠？

4、小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车．到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆．如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？

课后练习

1、电梯从一楼到二楼，露在外面100个台阶．人从一楼上电梯到二楼，电梯走人不走，到二     楼时人和电梯一共走了多少个台阶？

2、电梯从一楼到二楼，露在外面100个台阶．人从一楼上电梯到二楼，电梯不走人走，到二     楼时人和电梯一共走了多少个台阶？

3、电梯从一楼到二楼，露在外面100个台阶．人从一楼上电梯到二楼，电梯走人也走，到二     楼时人和电梯一共走了多少个台阶？

4、电梯从一楼到二楼，露在外面100个台阶．人从二楼上电梯到一楼，电梯往上走人往下走，     到一楼时人比电梯多走了多少个台阶？

5、某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．

6、一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？