平板边界层的解 |
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布拉休斯(Blasius)解
问题的转化
对于二维定常层流(平板或曲面)边界层问题,边界层方程可写作: 根据式(1)中的第2式,即连续方程,引入流函数 将式(2)代入(1)中的第一个方程,得到 问题转化成求解一个函数。 求速度分布的位流解位流解就是指平面内除边界层部分外,其他区域的速度表达式,我们显然知道: 在边界层外缘,应用伯努利方程:,得到: 将式(4)代入式(3)中,得到 此时边界条件为: 问题转化为在式(6)的边界条件下,求解式(5)。 相似律假设引进一个变量 根据相似律,导出 验证: 由得:。 相似律认为,和同时从0到1,故而应有:。(这里有)。 比较以上两式,有。在边界层方程推导过程中,我们有。因而,所以等式理论上可以成立。 由式(8)导出 将以上诸式代入式(5)并化简得: 边界条件(6)相应转化成: 式(9)是一个三阶非线性常微分方程,式(10)提供三个边界条件,所以可解。 非线性常微分方程的求解假设: 式中为待定常数。 由式(10)中前两个条件易得。 故有 将以上诸式代入式(9)并整理得: 由的任意性,各系数必须同时为零,即: 继续迭代下去,则所有不为零的系数均可以用来表示,而是一个待定常数。令,则 式中: 由 布拉休斯定得。(谁能告诉我这常数怎么定?) 求摩擦应力根据牛顿粘性定律 可得 式中,式(13)即为沿平板的摩擦应力分布,大小与的平方根成反比。 表面摩擦力或摩擦阻力()是来自流体和有相对运动物体“表面”的摩擦力,和湿表面积(即物体和流体接触的表面积)有关。表面摩擦力和寄生阻力中的其他成分类似,可以用阻力方程表示,而且大约和速度平方成正比。 表面摩擦力系数可以用下式定义: 其中,是壁面摩擦应力,是流体密度,是自由流场的速度(边界层外) 因此,表面摩擦力系数为 假设平板的宽度为1,长度为,则平板表面的阻力系数(摩擦力引起)为 即摩擦阻力系数与雷诺数的平方根成反比 阻力方程是流体力学中计算一物体在流体中运动,所受到阻力的方程式,由瑞利勋爵提出。形式如下: 其中,是阻力(施力平行流场方向的分量),是流体密度,是流体相对物体的速度,是阻力系数(无量纲),是参考面积。 求边界层厚度由 得,当时,认为到达边界层外缘。计算得,此时。 所以有 可见,边界层厚度是以指数函数(指数为)形式递增的。 卡门动量积分关系解参见示意图,在边界层内取控制面。假设流体定常流动,并假设垂直于纸面方向的尺寸为1.对此控制面(体)应用动量定理,来建立边界层的积分关系式。 示意图: 动量积分法示意图.png假设上有一点处的速度为,则在时间内,通过边界的气流流入的质量为: 同时,通过边界流出的质量为: 因此经过和边界,质量的净流出量为: 由于流动是定常流,且边界没有质量流量,因此,在时间内,边界质量流入量: 同理可得,在时间内,由流进控制面的动量为: 由流出控制面的动量为: 由流进控制面的动量为: 式中,是边界层边界的流速,从进入的气流均为该速度。 故气体通过控制面后的动量变化为: 再考虑控制面边界上的作用力。忽略彻体力,注意到边界层边界上摩擦力为零(),而且及面上的摩擦力在方向上没有分量,故只需考虑,,这三个面上的压力及面上的摩擦力即可。这几个作用力在方向上的分量分别为: 式中下标代表物面。这几个力合力的冲量为: 根据动量定律,气体动量的改变量等于外力的冲量,即 化简为: 式(14)即为定常流的边界层动量积分关系式,也称为卡门-泊尔豪森(Karman-Pohlhausen)动量积分关系式。 下面对式(14)进行变形。 将式(15)、(16)带回式(14)中得: 化简得: 对于不可压流,式(17)化简为: 以下内容均为不可压流。 位移厚度(质量损失速度) 动量损失厚度 因此,式(18)化简为: 或者为: 上式既适用于层流也适用于湍流边界层。 上式也可以通过直接积分边界层微分方程获得。 对于二维不可压流体边界层方程(不计彻体力) 连续方程变形得: 连续方程和运动方程结合得: 两式相减得: 在边界层内积分上式,有: 由于,整理上式即为Karman积分。 参考资料:《空气动力学》(钱翼稷 编著) |
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