自然数包括哪些数(有理数包括哪些数)

自然数包括哪些

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。下面是我给大家带来的自然数包括哪些，希望能帮到大家！

自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。

自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

表示物体个数的数0、1、2、3、4、5、6、……叫自然数。

从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

自然数集N是指满足以下条件的集合：

①N中有一个元素，记作1。

②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。

⑤不同元素有不同的后继者。

⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

扩展资料：

自然数性质

1、对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：a + 0 = a；a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后继者。

如果我们将S（0）定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

同理，乘法运算“×”定义为：a × 0 = 0; a × S（b） = a × b + a。

自然数的`减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

2、有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

3、无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。

对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。

这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如：

0 1 2 3 4 ……

1 3 5 7 9 ……

这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。

但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。

4、传递性：设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。

5、三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1>n2，n1=n2或n1

6、最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm（m>n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。

具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。

自然数包括正整数和零。自然数是整数，但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3……是整数，而不是自然数。自然数是无限的。

自然数一般概念

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。

注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。

自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3……是整数 而不是自然数。自然数是无限的。

全体非负整数组成的集合称为非负整数集，即自然数集。

在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然数。自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。

基本单位：计数单位：个、十、百、千、万、十万……

总之，自然数就是指大于等于0的整数。当然，负数、小数、分数等就不算在其内了。

什么是整数

整数就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。

整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

表示物体个数的数叫自然数，即：0 1、1、2、3、4……

自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。

注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。

一般概念：

自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。

自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3......是整数 而不是自然数。自然数是无限的。

全体非负整数组成的集合称为非负整数集，即自然数集。

自然数集N是指满足以下条件的集合：

①N中有一个元素，记作1。

②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

③1是0的后继者。

④0不是任何元素的后继者。

⑤不同元素有不同的后继者。

⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

01

自然数包括正整数和零。自然数是整数，但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3……是整数，而不是自然数。自然数是无限的。

02

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。自然数是整数（自然数包括正整数和零），但整数不全是自然数，例如：-1 -2 -3……是整数 而不是自然数。自然数是无限的。

03

自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

04

自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。

自然数包括正整数和零，自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4所表示的数。分为偶数和奇数，合数和质数等。

自然数包括正整数和零，自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

自然数的分类：

1、按能否被2整除分为奇数和偶数。

（1）奇数：不能被2整除的数叫奇数。

（2）偶数：能被2整除的数叫偶数。

2、按因数个数分可分为质数、合数、1和0。

（1）质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。

（2）合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

（3）1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。

（4）当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

自然数指的是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

自然数（natural number），用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数具有有始、有序、无限的性质。分为偶数和奇数，合数和质数等。

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。（注：整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。）但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不总是成立的。

自然数的分类

按是否是偶数分，可分为奇数和偶数。

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数。

按因数个数分，可分为质数、合数、1和0。

1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。

2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。

4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。自然数包括偶数和奇数，合数和质数等。

自然数包括哪些数

（一）按是否是偶数可分为：奇数、偶数

1.奇数

奇数指不能被2整除的数，也叫单数，数学表达形式为2n+1，奇数可以分为正奇数和负奇数。

2.偶数

偶数指能够被2整除的整数，也叫双数。数学表达形式为2n。

（二）按因数个数可分为：质数、合数、1和0

1.质数

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

2.和数

合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

3.1

只有1个因数。它既不是质数也不是合数。

4.0

和1一样，也不是质数也不是合数。

自然数有哪些特性

（1）0和正整数，称为自然数。0是最小自然数。

（2）在不表示物体的个数时，0就不再表示“没有”，而是表示特定意义。例如，今天的气温是0摄氏度。

（3）分母是1的分数，其分数值等于分子。

（4）1和0，既不是质数，也不是合数。

（5）如果一个数的各个数位上的数的和能被3整除，这个数定能被3整除。例如，63249÷3=21083。

（6）各个数位上的数分别都是3的倍数，这个数定能被3整除。例如，369÷3=123；369963÷3=123321。

（7）一个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数均能被7整除，那么这个数定能被7整除。

（8）如果一个数的各个数位上的数的和能被9整除，这个数定能被9整除。

（9）9乘任意数，因9=10-1，故任意数×9=任意数×10-任意数×1=任意数尾添0-原任意数，将乘法转化成数尾添0和减法，可用于速算。

（10）在乘法中，乘10，被乘数尾添一个0。以此类推。

（11）在除法中，除以10，被除数小数点向左移一位。以此类推。

自然数包括奇数、偶数、合数、质数。

自然数是从0、1、2、3、4、5、6 直到 N，从0开始的一个接一个组成无穷集合。自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有数不尽的个数。且自然数根据不同规则进行细分，如以下两方面：

（一）是否被2整除，如A/B的余数为0

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数：能被2整除的数叫偶数。

那自然数中分为两类，除了奇数就是偶数，通过被除数2来判断。需要特别注意，0是偶数，偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0。

（二）按照因数个数划分

1、合数：除了1和它本身外还有其它的因数的自然数叫做合数，比如9有因数1、3、9。

2、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。同时这样的自然数也被称作素数。比如7有因数1和7。

3、1：1只有1个因数。那么它既不是质数也不是合数。

4、0：注意0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

注意：因数不等于约数。

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