椭圆和双曲线的"垂径定理": 中心在原点 O , 焦点在 x 轴上的椭圆 \begin{equation}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}=1\end{equation}, (a>b>0) 的椭圆中不过原点的弦 AB , 如果其斜率 k_{AB} 存在且不为零(即不与对称轴平行)的弦, 该弦中点 M 与椭圆中心连线的斜率与弦斜率的乘积为定值 -\frac{{b^2}}{a^2} , 即 {k}_{{A}{B}}.{k}_{{O}{M}}=-{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}} , 于是可以知道椭圆里所有以斜率为 k (k\ne{0}, 且存在 ) 的平行弦中点都在直线 \begin{equation}{y}=-{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}{k}}}{x}\end{equation} 上, 其轨迹就是过原点, 斜率为 \begin{equation}-{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}{k}}}\end{equation} 的弦. 这个性质可以用点差法证明. 对于焦点在 y 轴上的椭圆 \begin{equation}{\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}}=1\end{equation} , 两斜率乘积为 -\frac{a^2}{b^2}

同理, 这个性质也适用于双曲线, 对于双曲线 \begin{equation}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}-{\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}=1\end{equation} , 这两个斜率乘积为 \frac{b^2}{a^2} ( 焦点在 y 轴上则为 \frac{a^2}{b^2} ) , 同时如果双曲线上的弦两边延长与两条渐近线相交成为渐近线的弦的的话, 这两条共线的弦中点共线. 因为两条相交渐近线是一个退化的二次曲线,其方程为 \begin{equation}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}-{\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}=0\end{equation} , 因为设弦的直线方程为 y=kx+m 分别代入双曲线方程和渐近线方程, x,y 的二次项系数均相同, 只相差一个常数项, 由韦达定理知, 其两根之和相等为 \begin{equation}{\frac{2{a}^{2}{k}{m}}{{b}^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}~\end{equation} , 所以两弦中点共点.

本题其实就是这个性质, 由给出三个条件来分析, 我用前两个条件证明第三个. 即证明 M 是渐近线弦中点, 即证明 M 是双曲线与 AB 共线弦的中点.

PQ 是与 AB 平行的弦. 因为 x_1>x_2>0 , 所以 PQ 斜率存在且大于 0 设为 k , 则PQ,AB 是双曲线右支上的平行弦. 过 P,Q 分别平行于两条渐近线的直线交点为 M

设 PQ 中点 N,PM,QM 的直线方程分别为 \begin{equation}{\left \{ ~\begin{matrix}{{y}-{y}_{1}=-{\sqrt{3}}{\left({x}-{x}_{1} \right)}}\\ {y}-{y}_{2}={\sqrt{3}}{\left({x}-{x}_{2} \right)}~\ \end{matrix}\right.}\end{equation}两式相加, \begin{equation}2{y}_{{M}}-{\left(~{y}_{1}+{y}_{2} \right)}={\sqrt{3}}{\left(~{x}_{1}-{x}_{2} \right)} \\ 2{y}_{{M}}-2{y}_{{N}}={\sqrt{3}}{\left(~{x}_{1}-{x}_{2} \right)} (1);~\end{equation} 两式相减; \\\begin{equation}{y}_{1}-{y}_{2}=2{\sqrt{3}}{x}_{{M}}-{\sqrt{3}}{\left(~{x}_{1}+{x}_{2} \right)}=2{\sqrt{3}}{x}_{{M}}-2{\sqrt{3}}{x}_{{N}} \\ \therefore{y}_{1}-{y}_{2}=2{\sqrt{3}}{\left(~{x}_{{M}}-{x}_{{N}} \right)}\end{equation} (2)(1)\div(2)得: \begin{equation}{\frac{2{\left({y}_{{M}}-{y}_{{N}} \right)}}{2{\sqrt{3}}{\left({\left({x}_{{M}}-{x}_{{N}} \right)} \right)}}}={\frac{{\sqrt{3}}{\left(~{x}_{1}-{x}_{2} \right)}}{{y}_{1}-{y}_{2}}} \\ {\frac{{{y}_{{M}}-{y}_{{N}}}}{{x}_{{M}}-{x}_{{N}}}}={\frac{3{\left({x}_{1}-{x}_{2} \right)}}{{y}_{1}-{y}_{2}}}={\frac{3}{{k}}}={\frac{{y}_{{N}}}{{x}_{{N}}}}\end{equation}所以 O,N,M 共线, 也就是平行弦 PQ,AB 的"垂径", M 在直线 AB 上就是直线 ONM 与 AB 的交点, 按照垂径定理就是渐近线弦 AB 的中点.

由此可以得出双曲线另外一个性质就是直线和双曲线及其渐近线各有两个交点时, 直线在双曲线和渐进之间所夹的线段长相等, 本题中 AA'=BB' . 不仅邻近的两点之间所夹线段相等, 远的所夹线段也相等, 即 AB'=A'B

实际上本题实质是证明过双曲线弦两端点分别与渐进线平行的两直线交点在弦的"垂径"上. 本题直线 AB 只要满足双曲线和渐近线共线的弦既可,不需要过定点. 题干过焦点有点迷惑性, 该条件可以舍去.

当然垂径定理考试时需要证明一下, 联立一下直线与椭圆或双曲线方程, 用韦达定理两根之和即可. 不过也是可见掌握一些圆锥曲线的二级结论对高考解圆锥曲线小题和大题都有所帮助, 不过也不要过于沉迷于背大量的二级结论, 最少必要即可.